制御システム-安定性分析

この章では、安定性解析について説明します。 ‘s’RouthHurwitz安定性基準を使用したドメイン。この基準では、閉ループ制御システムの安定性を見つけるための特性方程式が必要です。

ラウス・フルビッツ安定性基準

ラウス・フルビッツの安定性基準は、安定性のための1つの必要条件と1つの十分条件を持っています。いずれかの制御システムが必要条件を満たしていない場合、制御システムは不安定であると言えます。しかし、制御システムが必要条件を満たしている場合、それは安定している場合とそうでない場合があります。したがって、十分条件は、制御システムが安定しているかどうかを知るのに役立ちます。

ラウス・フルビッツ安定性の必要条件

必要条件は、特性多項式の係数が正でなければならないということです。これは、特性方程式のすべての根が負の実数部を持つ必要があることを意味します。

次数「n」の特性方程式が-であると考えてください。

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$

に欠落している用語があってはならないことに注意してください n^th次数特性方程式。これは、n^th 次数特性方程式には、ゼロ値の係数を含めないでください。

ラウス・フルビッツ安定性の十分条件

十分条件は、Routh配列の最初の列のすべての要素が同じ符号を持つ必要があることです。これは、Routh配列の最初の列のすべての要素が正または負のいずれかである必要があることを意味します。

ラウスアレイ法

特性方程式のすべての根が「s」平面の左半分に存在する場合、制御システムは安定しています。特性方程式の少なくとも1つの根が「s」平面の右半分に存在する場合、制御システムは不安定です。したがって、制御システムが安定しているか不安定であるかを知るには、特性方程式の根を見つける必要があります。しかし、次数が増えるにつれて、特性方程式の根を見つけることは困難です。

したがって、この問題を克服するために、 Routh array method。この方法では、特性方程式の根を計算する必要はありません。最初にRouthテーブルを作成し、Routhテーブルの最初の列で符号の変更の数を見つけます。Routhテーブルの最初の列の符号の変化の数は、「s」平面の右半分に存在する特性方程式の根の数を示し、制御システムは不安定です。

この手順に従って、Routhテーブルを作成します。

• 以下の表に記載されているように、Routh配列の最初の2行に特性多項式の係数を入力します。$ s ^ n $の係数から始めて、$ s ^ 0 $の係数まで続けます。

• 以下の表に記載されているように、Routh配列の残りの行に要素を入力します。の最初の列要素を取得するまで、このプロセスを続けますrow $s^0$$ a_n $です。ここで、$ a_n $は、特性多項式の$ s ^ 0 $の係数です。

Note − Routhテーブルのいずれかの行要素に共通の要素がある場合、単純化するために行要素をその要素で分割するのは簡単です。

次の表は、n^次の標数多項式のラウス配列を示しています。

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$

$ s ^ n $	$ a_0 $	$ a_2 $	$ a_4 $	$ a_6 $	..。	..。
$ s ^ {n-1} $	$ a_1 $	$ a_3 $	$ a_5 $	$ a_7 $	..。	..。
$ s ^ {n-2} $	$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $	$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $	$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $	..。	..。	..。
$ s ^ {n-3} $	$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $	$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $	$ \ vdots $
$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 1 $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 0 $	$ a_n $

Example

特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。

$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 −Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。

特性多項式のすべての係数$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $は正です。したがって、制御システムは必要条件を満たします。

Step 2 −与えられた特性多項式のラウス配列を形成します。

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 3 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	$ 3 $	$ 2 $
$ s ^ 2 $	$ \ frac {（3 \ times 3）-（2 \ times 1）} {3} = \ frac {7} {3} $	$ \ frac {（3 \ times 1）-（0 \ times 1）} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left（\ frac {7} {3} \ times 2 \ right）-（1 \ times 3）} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $
$ s ^ 0 $	$ 1 $

Step 3 −Routh-Hurwitzの安定性のための十分条件を確認します。

Routh配列の最初の列のすべての要素は正です。Routh配列の最初の列に符号の変更はありません。したがって、制御システムは安定しています。

ラウスアレイの特殊なケース

Routhテーブルを作成しているときに、2つのタイプの状況に遭遇する可能性があります。これらの2つの状況からRouthテーブルを完成させることは困難です。

2つの特殊なケースは次のとおりです。

• Routh配列の任意の行の最初の要素はゼロです。
• Routh配列の任意の行のすべての要素はゼロです。

ここで、これら2つのケースの問題を1つずつ克服する方法について説明します。

Routh配列の任意の行の最初の要素がゼロです

Routh配列のいずれかの行にゼロとして最初の要素のみが含まれ、残りの要素の少なくとも1つがゼロ以外の値である場合は、最初の要素を小さな正の整数$ \ epsilon $に置き換えます。次に、Routhテーブルを完成させるプロセスを続行します。ここで、$ \ epsilon $を代入して、Routhテーブルの最初の列の符号の変更の数を見つけます。

Example

特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。

$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 −Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。

特性多項式のすべての係数$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $は正です。そのため、制御システムは必要条件を満たしていました。

Step 2 −与えられた特性多項式のラウス配列を形成します。

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	2 1	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {（1 \ times 1）-（1 \ times 1）} {1} = 0 $	$ \ frac {（1 \ times 1）-（0 \ times 1）} {1} = 1 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

行$ s ^ 3 $要素には、共通因子として2があります。したがって、これらの要素はすべて2で除算されます。

Special case (i)−行$ s ^ 2 $の最初の要素のみがゼロです。したがって、それを$ \ epsilon $に置き換えて、Routhテーブルを完成させるプロセスを続行します。

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	$ \ epsilon $	1
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left（\ epsilon \ times 1 \ right）-\ left（1 \ times 1 \ right）} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 −Routh-Hurwitzの安定性のための十分条件を確認します。

$ \ epsilon $はゼロになる傾向があるため、Routhテーブルは次のようになります。

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	0	1
$ s ^ 1 $	-∞
$ s ^ 0 $	1

Routhテーブルの最初の列に2つの符号の変更があります。したがって、制御システムは不安定です。

Routh配列の任意の行のすべての要素がゼロです

この場合、次の2つの手順に従います-

• ゼロの行のすぐ上にある行の補助方程式A（s）を記述します。

• 補助方程式A（s）をsに関して微分します。ゼロの行をこれらの係数で埋めます。

Example

特性方程式を持つ制御システムの安定性を見つけましょう。

$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$

Step 1 −Routh-Hurwitzの安定性に必要な条件を確認します。

与えられた特性多項式のすべての係数は正です。そのため、制御システムは必要条件を満たしていました。

Step 2 −与えられた特性多項式のラウス配列を形成します。

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	3 1	3 1	3 1
$ s ^ 3 $	$ \ frac {（1 \ times 1）-（1 \ times 1）} {1} = 0 $	$ \ frac {（1 \ times 1）-（1 \ times 1）} {1} = 0 $
$ s ^ 2 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

行$ s ^ 4 $要素の公約数は3です。したがって、これらの要素はすべて3で除算されます。

Special case (ii)−行$ s ^ 3 $のすべての要素がゼロです。したがって、行$ s ^ 4 $の補助方程式A（s）を記述します。

$$ A（s）= s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$

上記の式をsに関して微分します。

$$ \ frac {\ text {d} A（s）} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$

これらの係数を行$ s ^ 3 $に配置します。

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	4 2	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {（2 \ times 1）-（1 \ times 1）} {2} = 0.5 $	$ \ frac {（2 \ times 1）-（0 \ times 1）} {2} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {（0.5 \ times 1）-（1 \ times 2）} {0.5} = \ frac {-1.5} {0.5} = -3 $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 −Routh-Hurwitzの安定性のための十分条件を確認します。

Routhテーブルの最初の列に2つの符号の変更があります。したがって、制御システムは不安定です。

ラウス・フルビッツ安定性基準では、閉ループ極が「s」平面の左半分にあるか、「s」平面の右半分にあるか、または虚軸上にあるかを知ることができます。そのため、制御システムの性質を見つけることができません。この制限を克服するために、根軌跡として知られる手法があります。この手法については、次の2つの章で説明します。