時間領域の仕様
この章では、2次システムの時間領域仕様について説明します。次の図に、減衰不足の場合の2次システムのステップ応答を示します。
この図には、すべての時間領域の仕様が示されています。整定時間までの応答は過渡応答と呼ばれ、整定時間後の応答は定常状態応答と呼ばれます。
遅延時間
応答が到達するのに必要な時間です half of its final valueゼロの瞬間から。$ t_d $で表されます。
'δ'が0と1の間にある場合、t≥0の場合の2次システムのステップ応答を考慮してください。
$$ c(t)= 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt + \ theta)$$
ステップ応答の最終値は1です。
したがって、$ t = t_d $では、ステップ応答の値は0.5になります。上記の式のこれらの値を代入します。
$$ c(t_d)= 0.5 = 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt_d + \ theta) $$
$$ \ Rightarrow \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt_d + \ theta)= 0.5 $$
線形近似を使用すると、次のようになります。 delay time td なので
$$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $$
立ち上がり時間
から応答が上がるのに必要な時間です 0% to 100% of its final value。これは、under-damped systems。過減衰システムの場合、最終値の10%から90%までの期間を考慮してください。立ち上がり時間はで表されますtr。
t = t 1 = 0で、c(t)= 0。
ステップ応答の最終値は1であることがわかっています。
したがって、$ t = t_2 $では、ステップ応答の値は1です。これらの値を次の式に代入します。
$$ c(t)= 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt + \ theta)$$
$$ c(t_2)= 1 = 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt_2 + \ theta) $$
$$ \ Rightarrow \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt_2 + \ theta)= 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin(\ omega_dt_2 + \ theta)= 0 $$
$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$
$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$
代替T 1及びT 2つの次式の値rise time、
$$ t_r = t_2-t_1 $$
$$ \したがって\:t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$
上記の式から、立ち上がり時間$ t_r $と減衰周波数$ \ omega_d $は互いに反比例すると結論付けることができます。
ピーク時
応答がに到達するのに必要な時間です peak value初めて。$ t_p $で表されます。$ t = t_p $では、応答の最初の導関数はゼロです。
減衰不足の場合の2次システムのステップ応答は次のようになります。
$$ c(t)= 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt + \ theta)$$
't'に関して$ c(t)$を微分します。
$$ \ frac {\ text {d} c(t)} {\ text {d} t} =-\ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ omega_d \ cos(\ omega_dt + \ theta)-\ left(\ frac {-\ delta \ omega_ne ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \右)\ sin(\ omega_dt + \ theta)$$
上記の式で$ t = t_p $と$ \ frac {\ text {d} c(t)} {\ text {d} t} = 0 $を代入します。
$$ 0 =-\ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ left [\ omega_d \ cos(\ omega_dt_p + \ theta)-\ delta \ omega_n \ sin(\ omega_dt_p + \ theta)\ right] $$
$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos(\ omega_dt_p + \ theta)-\ delta \ omega_n \ sin(\ omega_dt_p + \ theta)= 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos(\ omega_dt_p + \ theta)-\ delta \ sin(\ omega_dt_p + \ theta)= 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin(\ theta)\ cos(\ omega_dt_p + \ theta)-\ cos(\ theta)\ sin(\ omega_dt_p + \ theta)= 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin(\ theta- \ omega_dt_p- \ theta)= 0 $$
$$ \ Rightarrow sin(-\ omega_dt_p)= 0 \ Rightarrow- \ sin(\ omega_dt_p)= 0 \ Rightarrow sin(\ omega_dt_p)= 0 $$
$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$
$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$
上記の式から、ピーク時間$ t_p $と減衰周波数$ \ omega_d $は互いに反比例すると結論付けることができます。
ピークオーバーシュート
ピークオーバーシュート Mp応答の最終値からのピーク時の応答の偏差として定義されます。とも呼ばれますmaximum overshoot。
数学的には、次のように書くことができます
$$ M_p = c(t_p)-c(\ infty)$$
どこ、
c(t p)は応答のピーク値です。
c(∞)は、応答の最終(定常状態)値です。
$ t = t_p $では、応答c(t)は-です。
$$ c(t_p)= 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin(\ omega_dt_p + \ theta)$$
上記の式の右辺に$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $を代入します。
$$ c(t_P)= 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_n \ left(\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)\ sin \ left(\ omega_d \ left(\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)+ \ theta \ right)$$
$$ \ Rightarrow c(t_p)= 1- \ left(\ frac {e ^ {-\ left(\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)(-\ sin(\ theta))$$
私達はことを知っています
$$ \ sin(\ theta)= \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$
したがって、$ c(t_p)$を次のように取得します。
$$ c(t_p)= 1 + e ^ {-\ left(\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$
ピークオーバーシュート方程式に$ c(t_p)$と$ c(\ infty)$の値を代入します。
$$ M_p = 1 + e ^ {-\ left(\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}-1 $$
$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {-\ left(\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$
Percentage of peak overshoot % $ M_p $は、この式を使用して計算できます。
$$ \%M_p = \ frac {M_p} {c(\ infty)} \ times 100 \%$$
上記の式に$ M_p $と$ c(\ infty)$の値を代入すると、ピークオーバーシュートのパーセンテージ$ \%M_p $が次のようになります。
$$ \%M_p = \ left(e ^ {-\ left(\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right)\ times 100 \%$$
上記の式から、減衰比$ \ delta $が増加すると、ピークオーバーシュート$ \%M_p $のパーセンテージが減少すると結論付けることができます。
整定時間
応答が定常状態に到達し、最終値の周りの指定された許容範囲内にとどまるのに必要な時間です。一般に、許容範囲は2%と5%です。整定時間は$ t_s $で表されます。
5%の許容範囲の整定時間は-
$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$
2%の許容範囲の整定時間は-
$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$
ここで、$ \ tau $は時定数であり、$ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $と同じです。
整定時間$ t_s $と時定数$ \ tau $はどちらも、減衰比$ \ delta $に反比例します。
整定時間$ t_s $と時定数$ \ tau $は、どちらもシステムゲインとは無関係です。つまり、システムゲインが変化しても、整定時間$ t_s $と時定数$ \ tau $は決して変化しません。
例
ここで、単位ステップ信号がこの制御システムへの入力として適用される場合の、閉ループ伝達関数$ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $を持つ制御システムの時間領域仕様を見つけましょう。
2次閉ループ制御システムの伝達関数の標準形式は次のようになります。
$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
これらの2つの伝達関数を等しくすることにより、減衰されていない固有振動数$ \ omega_n $を2rad / secとして、減衰比$ \ delta $を0.5として取得します。
減衰周波数$ \ omega_d $の式は次のようになります。
$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$
上記の式の$ \ omega_n $と$ \ delta $の値を代入します。
$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1-(0.5)^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \:rad / sec $$
次の関係で$ \ delta $値を代入します
$$ \ theta = \ cos ^ {-1} \ delta $$
$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {-1}(0.5)= \ frac {\ pi} {3} \:rad $$
上記の必要な値を各時間領域仕様の式に代入し、単純化して、特定の伝達関数の時間領域仕様の値を取得します。
次の表に、時間領域の仕様、必要な値の置換、および最終値の式を示します。
時間領域の仕様 | 式 | 式の値の代入 | 最終値 |
---|---|---|---|
遅延時間 |
$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $ |
$ t_d = \ frac {1 + 0.7(0.5)} {2} $ |
$ t_d $ = 0.675秒 |
立ち上がり時間 |
$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $ |
$ t_r = \ frac {\ pi-(\ frac {\ pi} {3})} {1.732} $ |
$ t_r $ = 1.207秒 |
ピーク時 |
$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ |
$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $ |
$ t_p $ = 1.813秒 |
%ピークオーバーシュート |
$ \%M_p = \ left(e ^ {-\ left(\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right)\ times 100 \%$ |
$ \%M_p = \ left(e ^ {-\ left(\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1-(0.5)^ 2}} \ right)} \ right)\ times 100 \%$ |
$ \%\:M_p $ = 16.32% |
2%の許容範囲の整定時間 |
$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $ |
$ t_S = \ frac {4} {(0.5)(2)} $ |
$ t_s $ = 4秒 |