根軌跡の構築
ザ・ root locusはsドメインのグラフィック表現であり、実際の軸に対して対称です。開ループの極と零点は、実数または複素共役のペアとして値を持つsドメインに存在するためです。この章では、根軌跡を作成（描画）する方法について説明します。
根軌跡の構築規則
根軌跡を作成するには、次のルールに従ってください。
Rule 1 −「s」平面で開ループの極と零点を見つけます。
Rule 2 −根軌跡の枝の数を見つけます。
根軌跡の分岐は、開ループの極で始まり、開ループの零点で終わることがわかっています。だから、根軌跡の枝の数N 有限開ループ極の数に等しい P または有限開ループ零点の数 Z、どちらか大きい方。
数学的には、根軌跡の枝の数を書くことができます N なので
$ P \ geq Z $の場合、$ N = P $
$ P <Z $の場合、$ N = Z $
Rule 3 −識別して描画する real axis root locus branches。
点での開ループ伝達関数の角度は、180の奇数倍である場合は0、その点は、根軌跡上にあります。実軸上の点の左側に奇数の開ループ極と零点が存在する場合、その点は根軌跡分岐上にあります。したがって、この条件を満たす点の分岐は、根軌跡分岐の実軸です。
Rule 4 −重心と漸近線の角度を見つけます。
$ P = Z $の場合、すべての根軌跡分岐は有限の開ループ極で始まり、有限の開ループ零点で終わります。
$ P> Z $の場合、根軌跡分岐の$ Z $数は有限開ループ極で始まり、有限開ループ零点で終わり、$ P − Z $根軌跡分岐数は有限開ループ極で始まり、無限で終わります。開ループゼロ。
$ P <Z $の場合、P個の根軌跡分岐は有限開ループ極で始まり、有限開ループ零点で終わり、$ Z − P $数の根軌跡分岐は無限開ループ極で始まり、有限開ループで終わります。ゼロ。
したがって、$ P \ neq Z $の場合、根軌跡の分岐の一部は無限大に近づきます。漸近線は、これらの根軌跡の分岐の方向を示します。実軸上の漸近線の交点は、centroid。
私たちは計算することができます centroid α この式を使用することにより、
$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \：part \：of \：finite \：open \：loop \：poles \：-\ sum Real \：part \：of \：finite \：open \：loop \ ：ゼロ} {PZ} $
の角度の式 asymptotes θ です
$$ \ theta = \ frac {（2q + 1）180 ^ 0} {PZ} $$
どこ、
$$ q = 0,1,2、....、（PZ）-1 $$
Rule 5 −仮想軸を持つ根軌跡分岐の交点を見つけます。
根軌跡の枝が虚軸と交差する点との値を計算できます。 K その時点で、ラウス配列法と特別な方法を使用して case (ii)。
Routh配列の任意の行のすべての要素がゼロの場合、根軌跡の分岐は虚軸と交差し、その逆も同様です。
最初の要素をゼロにすると、行全体の要素がゼロになるように行を識別します。の値を見つけるK この組み合わせのために。
これに置き換えてください K補助方程式の値。根軌跡枝と仮想軸の交点を取得します。
Rule 6 −ブレークアウェイポイントとブレークインポイントを見つけます。
2つの開ループ極の間に実軸根軌跡分岐が存在する場合、 break-away point これらの2つの開ループ極の間。
2つの開ループゼロの間に実軸根軌跡分岐が存在する場合、 break-in point これらの2つの開ループゼロの間。
Note −ブレークアウェイポイントとブレークインポイントは、実軸の根軌跡の分岐にのみ存在します。
次の手順に従って、ブレークアウェイポイントとブレークインポイントを見つけます。
特性方程式$ 1 + G（s）H（s）= 0 $から$ s $で$ K $を記述します。
sに関して$ K $を微分し、ゼロに等しくします。これらの$ s $の値を上記の式に代入します。
$ K $値が正である$ s $の値は break points。
Rule 7 −出発角度と到着角度を見つけます。
出発角度と到着角度は、それぞれ複素共役開ループ極と複素共役開ループ零点で計算できます。
の式 angle of departure $ \ phi_d $は
$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$
の式 angle of arrival $ \ phi_a $は
$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$
どこ、
$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$
例
ここで、開ループ伝達関数をもつ制御システムの根軌跡を描きましょう。$ G（s）H（s）= \ frac {K} {s（s + 1）（s + 5）} $
Step 1−与えられた開ループ伝達関数には、$ s = 0、s = −1 $、および$ s = −5 $に3つの極があります。ゼロはありません。したがって、根軌跡の分岐の数は、開ループ伝達関数の極の数と同じです。
$$ N = P = 3 $$
上図に示すように、3つの極が配置されています。$ s = −1 $と$ s = 0 $の間の線分は、実軸上の根軌跡の1つの分岐です。そして、実軸上の根軌跡の他の分岐は、$ s = −5 $の左側の線分です。
Step 2 −与えられた式を使用して、重心の値と漸近線の角度を取得します。
セントロイド$ \ alpha = −2 $
漸近線の角度は$ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $と$ 300 ^ 0 $です。
次の図に、重心と3つの漸近線を示します。
Step 3−2つの漸近線の角度は$ 60 ^ 0 $と$ 300 ^ 0 $であるため、2つの根軌跡の分岐が虚軸と交差します。ラウス配列法と特殊なケース（ii）を使用することにより、根軌跡の分岐は$ j \ sqrt {5} $と$ -j \ sqrt {5} $で虚軸と交差します。
極$ s = -1 $と$ s = 0 $の間の実軸根軌跡分岐上に、1つのブレークアウェイポイントがあります。ブレークアウェイポイントの計算に与えられた手順に従うことにより、$ s = −0.473 $として得られます。
与えられた制御システムの根軌跡図を次の図に示します。
このようにして、任意の制御システムの根軌跡図を描画し、閉ループ伝達関数の極の動きを観察できます。
根軌跡図から、さまざまなタイプの減衰のK値の範囲を知ることができます。
根軌跡に対する開ループ極と零点の追加の影響
根軌跡はシフトインできます ‘s’ plane 開ループ極と開ループ零点を追加します。
開ループ伝達関数に極を含めると、根軌跡の分岐の一部が「s」平面の右半分に向かって移動します。このため、減衰比$ \ delta $は減少します。つまり、減衰周波数$ \ omega_d $が増加し、遅延時間$ t_d $、立ち上がり時間$ t_r $、ピーク時間$ t_p $などの時間領域の仕様が減少します。ただし、システムの安定性に影響します。
開ループ伝達関数にゼロを含めると、根軌跡分岐の一部が「s」平面の左半分に向かって移動します。したがって、制御システムの安定性が向上します。この場合、減衰比$ \ delta $が増加します。つまり、減衰周波数$ \ omega_d $が減少し、遅延時間$ t_d $、立ち上がり時間$ t_r $、ピーク時間$ t_p $などの時間領域の仕様が増加します。
したがって、要件に基づいて、伝達関数に開ループの極または零点を含める（追加する）ことができます。