制御システム-ナイキストプロット

ナイキストプロットは、ωを-∞から∞まで変化させることによって閉ループ制御システムの安定性を見つけるための極座標プロットの続きです。つまり、ナイキストプロットを使用して、開ループ伝達関数の完全な周波数応答を描画します。

ナイキスト安定基準

ナイキスト安定基準は、 principle of argument。P極があり、Z零点が「s」平面の閉じたパスで囲まれている場合、対応する$ G（s）H（s）$平面は原点$ P − Z $回を囲む必要があると記載されています。したがって、包囲の数Nを次のように書くことができます。

$$ N = PZ $$

囲まれた「s」平面の閉じたパスに極のみが含まれている場合、$ G（s）H（s）$平面の囲みの方向は、「s」平面の囲まれた閉じたパスの方向と反対になります。
囲まれた「s」平面の閉じたパスにゼロのみが含まれている場合、$ G（s）H（s）$平面の囲みの方向は、「s」の囲まれた閉じたパスの方向と同じ方向になります。飛行機。

ここで、偏角の原理を「s」平面の右半分全体に、閉じたパスとして選択して適用してみましょう。この選択されたパスは、Nyquist 輪郭。

閉ループ伝達関数のすべての極が「s」平面の左半分にある場合、閉ループ制御システムは安定していることがわかります。したがって、閉ループ伝達関数の極は、特性方程式の根に他なりません。特性方程式の次数が増えると、根を見つけるのが難しくなります。そこで、これらの特性方程式の根を次のように相関させましょう。

's'平面の右半分に開ループ極がない場合、開ループ制御システムは安定していることがわかります。

つまり、$ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

's'平面の右半分に閉ループ極がない場合、閉ループ制御システムは安定していることがわかります。

つまり、$ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criterion臨界点（1 + j0）の周りの円の数は、特性方程式の極に等しくなければならないと述べています。これは、「s」平面の右半分にある開ループ伝達関数の極に他なりません。原点を（1 + j0）にシフトすると、特性方程式の平面が得られます。

ナイキストプロットをプロットするには、次のルールに従ってください。

's'平面で開ループ伝達関数$ G（s）H（s）$の極と零点を見つけます。
$ \ omega $をゼロから無限大まで変化させて、極座標プロットを描画します。s = 0に極またはゼロが存在する場合、極座標プロットを描画するために$ \ omega $を0+から無限大まで変化させます。
-∞からゼロまでの範囲の$ \オメガ$の値の極座標上の鏡像を描く（0 ^-もしあれば極又はS = 0でゼロ存在します）。
無限半径の半円の数は、原点の極またはゼロの数に等しくなります。無限半径の半円は、極座標プロットの鏡像が終了するポイントから始まります。そして、この無限半径の半円は、極座標プロットが開始するポイントで終了します。

ナイキストプロットを描いた後、ナイキスト安定基準を使用して閉ループ制御システムの安定性を見つけることができます。臨界点（-1 + j0）が円の外側にある場合、閉ループ制御システムは完全に安定しています。

ナイキストプロットから、これらのパラメーターの値に基づいて、制御システムが安定しているか、わずかに安定しているか、不安定であるかを識別できます。

ナイキスト線図が負の実軸と交差する周波数（位相角は180 ⁰）は、phase cross over frequency。$ \ omega_ {pc} $で表されます。

ナイキスト線図が1の大きさを持つ頻度は、 gain cross over frequency。$ \ omega_ {gc} $で表されます。

位相クロスオーバー周波数とゲインクロスオーバー周波数の関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。

位相クロスオーバー周波数$ \ omega_ {pc} $がゲインクロスオーバー周波数$ \ omega_ {gc} $より大きい場合、制御システムは次のようになります。 stable。
位相クロスオーバー周波数$ \ omega_ {pc} $がゲインクロスオーバー周波数$ \ omega_ {gc} $と等しい場合、制御システムは次のようになります。 marginally stable。
位相クロスオーバー周波数$ \ omega_ {pc} $がゲインクロスオーバー周波数$ \ omega_ {gc} $よりも小さい場合、制御システムは次のようになります。 unstable。