制御システム-状態空間モデル
ザ・ state space model 線形時不変(LTI)システムのは、次のように表すことができます。
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
1番目と2番目の方程式は、それぞれ状態方程式と出力方程式として知られています。
どこ、
Xと$ \ dot {X} $は、それぞれ状態ベクトルと微分状態ベクトルです。
UとYは、それぞれ入力ベクトルと出力ベクトルです。
Aはシステム行列です。
BとCは、入力行列と出力行列です。
Dはフィードフォワード行列です。
状態空間モデルの基本概念
この章に含まれる次の基本的な用語。
状態
これは変数のグループであり、将来の値(出力)を予測するためにシステムの履歴を要約します。
状態変数
必要な状態変数の数は、システムに存在するストレージ要素の数と同じです。
Examples −インダクタを流れる電流、コンデンサ両端の電圧
状態ベクトル
これは、状態変数を要素として含むベクトルです。
前の章では、制御システムの2つの数学モデルについて説明しました。それらは微分方程式モデルと伝達関数モデルです。状態空間モデルは、これら2つの数学モデルのいずれかから取得できます。ここで、これら2つの方法を1つずつ説明します。
微分方程式からの状態空間モデル
次の一連のRLC回路について考えてみます。入力電圧$ v_i(t)$があり、回路を流れる電流は$ i(t)$です。
この回路には2つのストレージ要素(インダクタとコンデンサ)があります。したがって、状態変数の数は2に等しく、これらの状態変数は、インダクターを流れる電流$ i(t)$とコンデンサーの両端の電圧$ v_c(t)$です。
回路からの出力電圧$ v_0(t)$は、コンデンサ両端の電圧$ v_c(t)$に等しくなります。
$$ v_0(t)= v_c(t)$$
ループの周りにKVLを適用します。
$$ v_i(t)= Ri(t)+ L \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} + v_c(t)$$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} =-\ frac {Ri(t)} {L}-\ frac {v_c(t)} {L} + \ frac {v_i(t)} {L} $$
コンデンサ両端の電圧は-
$$ v_c(t)= \ frac {1} {C} \ int i(t)dt $$
上記の方程式を時間で微分します。
$$ \ frac {\ text {d} v_c(t)} {\ text {d} t} = \ frac {i(t)} {C} $$
状態ベクトル、$ X = \ begin {bmatrix} i(t)\\ v_c(t)\ end {bmatrix} $
微分状態ベクトル、$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c(t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $
微分方程式と出力方程式を次のように状態空間モデルの標準形式に配置できます。
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i(t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c(t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix}-\ frac {R} {L}&-\ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C}&0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i(t)\\ v_c(t)\ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i(t)\ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0&1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i(t)\\ v_c(t)\ end {bmatrix} $$
どこ、
$$ A = \ begin {bmatrix}-\ frac {R} {L}&-\ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C}&0 \ end {bmatrix}、\:B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}、\:C = \ begin {bmatrix} 0&1 \ end {bmatrix} \:および\:D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$
伝達関数からの状態空間モデル
分子に存在する項のタイプに基づいて、2つのタイプの伝達関数を検討してください。
- 分子に定数項を持つ伝達関数。
- 分子内の 's'の多項式関数を持つ伝達関数。
分子に定数項を持つ伝達関数
システムの次の伝達関数を考えてみましょう
$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $
上記の式を次のように並べ替えます
$$(s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0)Y(s)= b_0 U(s)$$
両側に逆ラプラス変換を適用します。
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny(t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y(t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} + a_0y(t)= b_0 u(t)$$
しましょう
$$ y(t)= x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y(t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$。$$
$$。$$
$$。$$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y(t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny(t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
および$ u(t)= u $
次に、
$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$
上記の式から、次の状態式を書くことができます。
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$
出力方程式は-
$$ y(t)= y = x_1 $$
状態空間モデルは-
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0&1&0&\ dotso&0&0 \\ 0&0&1&\ dotso&0&0 \\\ vdots&\ vdots&\ vdots&\ dotso&\ vdots &\ vdots \\ 0&0&0&\ dotso&0&1 \\-a_0&-a_1&-a_2&\ dotso&-a_ {n-2}&-a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1&0&\ dotso&0&0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
ここで、$ D = \ left [0 \ right]。$
例
伝達関数を持つシステムの状態空間モデルを見つけます。
$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
上記の式を次のように並べ替えます。
$$(s ^ 2 + s + 1)Y(s)= U(s)$$
両側に逆ラプラス変換を適用します。
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y(t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} + y (t)= u(t)$$
しましょう
$$ y(t)= x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y(t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
および$ u(t)= u $
すると、状態方程式は次のようになります。
$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$
出力方程式は次のとおりです。
$$ y(t)= y = x_1 $$
状態空間モデルは
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0&1 \\-1&-1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1&0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
分子内で 's'の多項式関数を持つ伝達関数
システムの次の伝達関数を考えてみましょう
$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ left(\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right)(b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0)$$
上記の式は、カスケード接続された2つのブロックの伝達関数の積の形式です。
$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ left(\ frac {V(s)} {U(s)} \ right)\ left(\ frac {Y(s)} {V (s)} \ right)$$
ここに、
$$ \ frac {V(s)} {U(s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
上記の式を次のように並べ替えます
$$(s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0)V(s)= U(s)$$
両側に逆ラプラス変換を適用します。
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv(t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v(t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v(t)} {\ text {d} t} + a_0v(t)= u (t)$$
しましょう
$$ v(t)= x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} v((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v(t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$。$$
$$。$$
$$。$$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v(t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv(t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
および$ u(t)= u $
すると、状態方程式は次のようになります。
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$
考えてみてください
$$ \ frac {Y(s)} {V(s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$
上記の式を次のように並べ替えます
$$ Y(s)=(b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0)V(s)$$
両側に逆ラプラス変換を適用します。
$$ y(t)= b_n \ frac {\ text {d} ^ nv(t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v(t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v(t)} {\ text {d} t} + b_0v(t)$$
上記の方程式に状態変数と$ y(t)= y $を代入すると、出力方程式は次のようになります。
$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
上記の式の$ \ dot {x} _n $値を代入します。
$$ y = b_n(-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u)+ b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
$$ y =(b_0-b_na_0)x_1 +(b_1-b_na_1)x_2 + ... +(b_ {n-1} -b_na_ {n-1})x_n + b_n u $$
状態空間モデルは
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0&1&0&\ dotso&0&0 \\ 0&0&1&\ dotso&0&0 \\\ vdots&\ vdots&\ vdots&\ dotso&\ vdots &\ vdots \\ 0&0&0&\ dotso&0&1 \\-a_0&-a_1&-a_2&\ dotso&-a_ {n-2}&-a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
$ b_n = 0 $の場合、、
$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$