制御システム-定常状態エラー

定常状態での制御システムの出力の望ましい応答からの偏差は、次のように知られています。 steady state error。$ e_ {ss} $として表されます。次のように、最終値の定理を使用して定常状態の誤差を見つけることができます。

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e（t）= \ lim_ {s \ to 0} sE（s）$$

どこ、

E（s）は、エラー信号のラプラス変換$ e（t）$です。

ユニティフィードバックおよび非ユニティフィードバック制御システムの定常状態エラーを1つずつ見つける方法について説明します。

Unityフィードバックシステムの定常状態エラー

次の閉ループ制御システムのブロック図を検討してください。これは、単一の負のフィードバックを持っています。

どこ、

R（s）は、参照入力信号$ r（t）$のラプラス変換です。
C（s）は、出力信号$ c（t）$のラプラス変換です。

ユニティネガティブフィードバック閉ループ制御システムの伝達関数は次のようになります。

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {G（s）} {1 + G（s）} $$

$$ \ Rightarrow C（s）= \ frac {R（s）G（s）} {1 + G（s）} $$

加算点の出力は-

$$ E（s）= R（s）-C（s）$$

上記の式に$ C（s）$の値を代入します。

$$ E（s）= R（s）-\ frac {R（s）G（s）} {1 + G（s）} $$

$$ \ Rightarrow E（s）= \ frac {R（s）+ R（s）G（s）-R（s）G（s）} {1 + G（s）} $$

$$ \ Rightarrow E（s）= \ frac {R（s）} {1 + G（s）} $$

定常状態の誤差式に$ E（s）$の値を代入します

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR（s）} {1 + G（s）} $$

次の表は、単位ステップ、単位ランプ、単位放物線信号などの標準入力信号の定常状態誤差と誤差定数を示しています。

入力信号	定常状態エラー$ e_ {ss} $	エラー定数
ユニットステップ信号	$ \ frac {1} {1 + k_p} $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G（s）$
ユニットランプ信号	$ \ frac {1} {K_v} $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG（s）$
単位放物線信号	$ \ frac {1} {K_a} $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G（s）$

ここで、$ K_p $、$ K_v $、および$ K_a $は、それぞれ位置誤差定数、速度誤差定数、および加速度誤差定数です。

Note −上記の入力信号のいずれかが1以外の振幅を持っている場合は、対応する定常状態誤差にその振幅を掛けます。

Note−単位インパルス信号の定常状態誤差は、原点にのみ存在するため、定義できません。したがって、インパルス応答を単位インパルス入力と比較することはできません。t 無限大を示します。

例

$ Gを使用したユニティネガティブフィードバック制御システムの入力信号$ r（t）= \ left（5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right）u（t）$の定常状態誤差を見つけましょう。（s）= \ frac {5（s + 4）} {s ^ 2（s + 1）（s + 20）} $

与えられた入力信号は、ステップ、ランプ、放物線の3つの信号の組み合わせです。次の表に、これら3つの信号のエラー定数と定常状態エラー値を示します。

入力信号	エラー定数	定常状態エラー
$ r_1（t）= 5u（t）$	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G（s）= \ infty $	$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $
$ r_2（t）= 2tu（t）$	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG（s）= \ infty $	$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $
$ r_3（t）= \ frac {t ^ 2} {2} u（t）$	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G（s）= 1 $	$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $

上記の3つの定常状態エラーを追加することにより、全体的な定常状態エラーを取得します。

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

したがって、定常状態エラー$ e_ {ss} $を次のように取得しました。 1 この例では。

非ユニティフィードバックシステムの定常状態エラー

非ユニティ負帰還を持っている閉ループ制御システムの次のブロック図を考えてみましょう。

ユニティフィードバックシステムでのみ定常状態エラーを見つけることができます。したがって、非ユニティフィードバックシステムをユニティフィードバックシステムに変換する必要があります。このために、上記のブロック図に1つのユニティ正フィードバックパスと1つのユニティ負フィードバックパスを含めます。新しいブロック図は次のようになります。

ユニティネガティブフィードバックをそのままにして、上記のブロック図を簡略化します。以下は簡略化されたブロック図です。

このブロック図は、ユニティネガティブフィードバック閉ループ制御システムのブロック図に似ています。ここで、単一のブロックは、$ G（s）$の代わりに伝達関数$ \ frac {G（s）} {1 + G（s）H（s）-G（s）} $を持っています。ユニティネガティブフィードバックシステムに与えられた定常状態エラーの式を使用して、定常状態エラーを計算できるようになりました。

Note−不安定な閉ループシステムの定常状態エラーを見つけることは無意味です。したがって、閉ループ安定システムについてのみ定常状態誤差を計算する必要があります。これは、定常状態のエラーを見つける前に、制御システムが安定しているかどうかを確認する必要があることを意味します。次の章では、概念に関連する安定性について説明します。