制御システム-根軌跡

根軌跡図では、閉ループ極の経路を観察できます。したがって、制御システムの性質を特定できます。この手法では、開ループ伝達関数を使用して、閉ループ制御システムの安定性を確認します。

根軌跡の基礎

根軌跡は、システムゲインKをゼロから無限大まで変化させることによる特性方程式の根の軌跡です。

閉ループ制御システムの特性方程式は次のとおりです。

$$ 1 + G（s）H（s）= 0 $$

$ G（s）H（s）$を次のように表すことができます

$$ G（s）H（s）= K \ frac {N（s）} {D（s）} $$

どこ、

特性方程式の$ G（s）H（s）$値を代入します。

$$ 1 + k \ frac {N（s）} {D（s）} = 0 $$

$$ \ Rightarrow D（s）+ KN（s）= 0 $$

Case 1 − K = 0

$ K = 0 $の場合、$ D（s）= 0 $です。

つまり、Kがゼロの場合、閉ループ極は開ループ極と等しくなります。

Case 2 − K = ∞

上記の特性方程式を次のように書き直します。

$$ K \ left（\ frac {1} {K} + \ frac {N（s）} {D（s）} \ right）= 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N（ s）} {D（s）} = 0 $$

上記の式に$ K = \ infty $を代入します。

$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N（s）} {D（s）} = 0 \ Rightarrow \ frac {N（s）} {D（s）} = 0 \ Rightarrow N（ s）= 0 $$

$ K = \ infty $の場合、$ N（s）= 0 $です。これは、Kが無限大の場合、閉ループの極が開ループの零点に等しいことを意味します。

上記の2つのケースから、根軌跡の分岐は開ループの極で始まり、開ループの零点で終わると結論付けることができます。

根軌跡分岐上の点は角度条件を満たす。したがって、角度条件は、点が根軌跡の分岐に存在するかどうかを知るために使用されます。マグニチュード条件を使用して、根軌跡分岐上の点のKの値を見つけることができます。したがって、点の大きさの条件を使用でき、これは角度の条件を満たします。

閉ループ制御システムの特性方程式は次のとおりです。

$$ 1 + G（s）H（s）= 0 $$

$$ \ Rightarrow G（s）H（s）=-1 + j0 $$

ザ・ phase angle $ G（s）H（s）$の

$$ \ angle G（s）H（s）= \ tan ^ {-1} \ left（\ frac {0} {-1} \ right）=（2n + 1）\ pi $$

ザ・ angle conditionは、開ループ伝達関数の角度が1800の奇数倍になる^点です。

$ G（s）H（s）$の大きさは-

$$ | G（s）H（s）| = \ sqrt {（-1）^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$

大きさの条件は、開ループ伝達関数の大きさが1になる点（角度条件を満たす）です。