추가 중이 세트의 폐쇄

Question

밝히다 $S = \{ (x_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \mid \sum\limits_{n=1}^{∞} {x_n}^2 < ∞ \}.$

이 세트가 점 덧셈에서 닫 혔음을 어떻게 표시합니까?

허락하다 $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ 관련 시리즈가 수렴하는 두 개의 시퀀스 $L_1 := \sum {x_n}^2$ 과 $L_2 := \sum {y_n}^2$. 관련 시리즈가$(x_n + y_n)_n$ 수렴도?

지금까지 내가 추론 할 수있어 $\sum_n (x_n + y_n)^2 = L_1 + L_2 + 2\sum x_n y_n$,하지만 여기서 어떻게 가야합니까?

Answer 1

힌트

$$\sum_{n}|x_n||y_n|\leq \sqrt{\sum_{n}x_n^2}\sqrt{\sum_{n}y_n^2}.$$

Answer 2

당신이 한 일을 감안할 때 증명해야 할 것은 $\sum {x_n y_n}$수렴합니다. 이렇게하려면 어떤 형태의 Cauchy Swartz 부등식이 필요하고 다음을 명시해야합니다.$$|x_n y_n|=\sqrt{x_n^2 \cdot y_n^2}\leq \frac{x_n^2 + y_n^2}{2}$$ 이 불평등은 때때로 AM-GM이라고 불리며, 우리는 그 합이 $\sum {|x_n y_n|}$수렴합니다. 따라서 문제의 덤은 절대적으로 수렴합니다.

Answer 3

더 나은 방법은 $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ 그래서 $\sum (x_n+y_n)^{2} \leq 2\sum x_n^{2}+2\sum y_n^{2} <\infty$. 이것은 CS 불평등을 피합니다.