L- 함수의 Hadamard 분해

Aug 30 2020

나는 이미 여기에서 다른 형태로이 질문을했지만 정말로 답이 필요합니다. 허락하다$L(s)$ "표준"이되다 $L$-함수, 오일러 곱, 함수 방정식 등 ... (원하는 경우 Selberg 클래스), 주문 1의 $\Lambda(s)$ 완성되다 $L$-감마 인자 기능. 따라서 우리는$\Lambda(k-s)=\omega\Lambda^*(s)$, 어디 $\Lambda^*$ "이중"Lambda 함수입니다 (예 : $L(s)$ Dirichlet 문자에 해당 $\chi$, $\Lambda^*$ 켤레에 해당), $\omega$ 계수 1의 루트 수.

예를 들어 극이 없다고 가정합니다. 이후$\Lambda$ 주문이있다 $1$ Hadamard 제품이 있습니다. $$\Lambda(s)=ae^{bs}\prod_{\rho}(1-s/\rho)\;,$$ 제품이 0 이상인 경우 $\Lambda$ 한계로 이해 $T\to\infty$ 제품의 $|\rho|<T$ (의도적으로 나는 더 많은 표준을 사용하지 않습니다 $(1-s/\rho)e^{s/\rho}$).

제 질문은 이것입니다 : 우리는 항상 $b=0$? 이것은 사소한 경우$\Lambda^*=\Lambda$ (self-dual), 그렇지 않으면 내가 증명할 수있는 유일한 것은 $b$순전히 상상입니다. 일부 비 셀프 듀얼로 수치 적으로 실험했습니다.$L$ Dirichlet 캐릭터에 붙은 기능은 사실 인 것 같습니다.

비고 : 1) Weil의 "명시 적 공식"을 사용한 증명이있을 수 있지만 그 유효성이 확실하지 않고 너무 복잡해 보입니다. 2) 50 년 전이 결과를 언급 한 해롤드 스타크에 대한 애매한 기억이 있습니다.

답변

14 Lucia Aug 31 2020 at 17:19

나는 당신이 정확하다고 믿습니다. $b$이것이 더 잘 알려지지 않은 이유를 설명 할 수 없지만 (확실히 전에는 몰랐습니다) 0입니다. 원시적 인 Dirichlet 캐릭터를 고수합시다$\mod q$그러나 다음 내용은 일반적으로 적용 가능해야합니다. 대수 도함수를 취하면$$ \frac{\Lambda^{\prime}}{\Lambda}(s) = b + \sum_{\rho} \frac{1}{s-\rho}, $$ 0은 $\rho=\beta+i\gamma$ 로 계산됩니다 $|\gamma|\le T$, 그리고 $T\to \infty$. 위의 내용을$s=R$ 큰 실수 $R$, 가상 부분에만 집중합니다.

지금 $$ \text{Im} \Big( \frac{\Lambda^{\prime}}{\Lambda}(R)\Big) $$ 기하 급수적으로 $0$ 같이 $R\to \infty$. 그럼 오른쪽에있는 가상 부분을 보겠습니다.$$ \text{Im} (b) + \lim_{T\to \infty} \sum_{|\gamma|\le T} \frac{\gamma}{(R-\beta)^2 + \gamma^2}. $$ 참고 $$ \sum_{|\gamma|\le T} \frac{\gamma}{(R-\beta)^2+\gamma^2} = \sum_{|\gamma|\le T}\Big( \frac{\gamma}{R^2+\gamma^2} + O\Big( \frac{R|\gamma|}{(R^2+\gamma^2)^2}\Big)\Big). \tag{1} $$ 오류 용어를 처리하려면 용어로 분할하십시오. $|\gamma|\le R$ 과 $|\gamma|>R$, 오류 항이 $$ \ll \sum_{|\gamma|\le R} \frac{1}{R^2} + \sum_{R<|\gamma|} \frac{R}{|\gamma|^3} \ll \frac{\log qR}{R}, $$ 기억할 때 $\ll \log q(|t|+1)$ 길이 간격의 0 $1$ (다음에 더 정확하게 기억할 것입니다).

이제 (1)의 주요 용어는 부분 합산으로 처리 할 수 있습니다. 에 대한$t>0$, 넣어 $N^+(t)$ 0의 수 $\Lambda$ 사이에 허수 부 $0$ 과 $t$, 및 $N^{-}(t)$ 사이에 허수 부가있는 0의 수 $-t$ 과 $0$. 그럼 둘 다$N^+$ 과 $N^-$ 인수 원칙에 의해 잘 알려진 점근 공식 (for $t\ge 1$) $$ N^+(t), N^{-} (t) = \frac{t}{2\pi} \log \frac{qt}{2\pi e} +O(\log (q(t+1))). $$ 따라서 모두를 위해 $t>0$ $$ |N^+(t) - N^-(t)| = O(\log (q(2+t))). $$ 이제 부분 합산으로 \begin{align*} \sum_{|\gamma|\le T} \frac{\gamma}{R^2+\gamma^2} &= \int_0^{T} \frac{t}{R^2+t^2} dN^+(t) - \int_0^T \frac{t}{R^2+t^2} dN^-(t) \\ &= \frac{T}{R^2+T^2} (N^+(T)-N^-(T)) - \int_0^T (N^+(t)-N^-(t)) \Big( \frac{t}{R^2+t^2}\Big)^{\prime} dt \\ &= O\Big(\frac{T\log qT}{R^2+T^2} \Big) + O\Big(\int_0^T (\log q(t+2)) \Big(\frac{1} {R^2+t^2} + \frac{2t^2}{(R^2+t^2)^2} \Big)dt \Big)\\ &= O\Big( \frac{\log qR}{R}\Big), \end{align*} 허락하자마자 $T\to \infty$.