Когда проективные модули дают генераторы?

Question

Я читаю arXiv: math / 0111066 [math.RA] и застрял в понимании доказательства леммы 1.4. Единственная часть, которой я не следую, - это утверждение:

Если $B$является проективным (правым) модулем над кольцом$R$что просто , то$B$ генератор для $\operatorname{Mod}-R$.

Я не понимаю, как использовать гипотезу о том, что $R$ просто. $B$ является прямым слагаемым свободного модуля (и свободные модули генерируют), но почему это показывает, что $B$ генерирует (а не дополнение $B$?)

Обновление: одна из возможных ссылок - это раздел алгебры Лэнга XVII, 7. Обратите внимание, что$B$ становится левым $R'(B)=\operatorname{End}_R(B)$модуль естественным образом. Теорема Мориты утверждает, что$B$ является генератором тогда и только тогда, когда естественное отображение $R\rightarrow \operatorname{End}_{R'}(B)$ находится на ($B$ "сбалансировано") и $B$ конечно порожденная проективная над $R'(B)$. Однако я понятия не имею, как это проверить ...

Answer 1

Я знаю, как это доказать, только если $B$конечно порожден; к счастью, из леммы 1.4 это следует, поскольку$B$ является прямым слагаемым (следовательно, частным) от $P$ которое предполагается конечно порожденным.

При условии, $B$ является прямым слагаемым некоторого конечного свободного модуля $R^n$, поэтому может быть представлен как образ идемпотента $e \in M_n(R)$. В этом сообщении в блоге (перейдите к разделу «Более явные эквиваленты Morita») вы можете увидеть доказательство следующего (это должно быть стандартным, но я не знаю ссылки, и было бы быстрее просто доказать это):

Лемма: $\text{im}(e)$ является генератором тогда и только тогда, когда $e \not \equiv 0 \bmod I$ для любого правильного двустороннего идеала $I$ из $R$.

Если $R$ просто, единственный такой идеал - это $I = (0)$ так что это условие автоматически выполняется для любого ненулевого идемпотента $e$ а значит, для любого ненулевого конечно порожденного проективного модуля $B$.

(Сообщение в блоге - это в основном обсуждение различных определений термина «генератор», которые в целом неэквивалентны, но в основном все согласны в $\text{Mod}(R)$и вообще в любой кокомполной абелевой категории. Эти эквивалентности позволяют мне использовать самое слабое определение генератора, которым является объект$B$ так что если $C$ - любой ненулевой объект, то есть ненулевое отображение $B \to C$.)

Answer 2

1. Легко заметить, что $R$ itsef - генератор.
2. Я предоставлю вам эпиморфизм $P \twoheadrightarrow R$, обратите внимание, что это то же самое, что и ненулевое отображение, потому что $R$просто. Такая «крышка» генератора показывает, что также$P$ генератор.
3. Будучи проективным, $P$ является разделенным подмодулем $R^{(\Gamma)}$, свободный модуль, порожденный некоторым множеством $\Gamma$. Теперь рассмотрим все прогнозы$\pi_i: R^{(\Gamma)} \to R$, составляя с включением $P \hookrightarrow R^{(\Gamma)} \to R$, должен быть хотя бы один $i$ такая, что проекция отлична от нуля, потому что $P$ - нетривиальный модуль.