Конечная сумма в сумме $x e^x$

Question

В моем классе анализа мы должны доказать эту и еще две связанные суммы, которые, я думаю, я мог бы доказать, если бы знал это. Однако я не знаю, как начать это решать; любые подсказки будут оценены.$$\sum_{n=0}^{\infty} \left( e^x-1-\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\cdots-\frac{x^n}{n!} \right)=xe^x$$

В одном из способов доказательства этого упоминается суммирование по частям, и единственная ссылка, которую я нашел в связи с этим, - это лемма Абеля, которую я пытался использовать, но мне это не помогает. Какие еще есть решения?

Answer 1

Запишем рассматриваемую сумму, используя обозначение суммирования:

\begin{align*} S&=\sum_{n=0}^\infty \left(e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{align*} Изменим порядок суммирования: $$S=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^{k-1}\frac{x^k}{k!}$$ Но учтите: значение слагаемого не зависит от $n$. Следовательно, мы можем рассматривать эту внутреннюю сумму как постоянное слагаемое, и в этом случае мы просто умножаем на$k=(k-1)-0+1$. Так,$$S=\sum_{k=1}^\infty k\cdot\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{(k-1)!}$$ Позволять $k=m+1$: $$S=\sum_{m=0}^\infty \frac{x^{m+1}}{m!}=x\sum_{m=0}^\infty\frac{x^m}{m!}=xe^x$$ как требуется.

Answer 2

\begin{align} & \sum_{n=0}^\infty \left( e^x-1-\frac x {1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\cdots-\frac{x^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \\[8pt] & \begin{array}{cccccccccc} = & x & + & \dfrac{x^2} 2 & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & + & \dfrac{x^2} 2 & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & & & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & & & & & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \end{array} \\[10pt] = {} & x + x^2 + \frac{x^3} 2 + \frac{x^4} 6 + \frac{x^5}{24} + \cdots \\[8pt] = {} & x\left( 1 + x + \frac{x^2} 2 + \frac{x^3} 6 + \frac{x^4}{24} +\cdots \right) = xe^x. \end{align}

Постскриптум: Может быть, полезно выразить это так, чтобы общая форма была явной, вместо того, чтобы обозначаться тремя точками, которые означают «продолжать по тому же образцу».\begin{align} & \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \\[8pt] = {} & \sum_{n,k\,:\,k\,\ge\,n+1\,\ge\,1} \frac{x^k}{k!} \\[8pt] = & \sum_{k=1}^\infty \left( \sum_{n=0}^{k-1} \frac{x^k}{k!} \right) \end{align} Но нет $\text{“}n\text{”}$ фигурирует в этой сумме, в которой $n$ идет от $0$ к $k-1$; поэтому сумма просто$x^k/k!$ умноженное на количество членов, которое $k$: $$ \sum_{k=1}^\infty k\cdot\frac{x^k}{k!} = x\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = xe^x. $$