Неравенства для$\sin$и$\cos$

Question

Я работал над задачей по математике, и в конце книги нам дано, что$|\sin\theta|$ $\leq$ $|\theta|$. Это заставило меня задуматься, есть ли какие-либо другие свойства, подобные этому, которые применяются к$\cos$или любое другое тригонометрическое неравенство?

Answer 1

Обратите внимание, что

$$\cos\theta\le 1.$$

Затем интегрирование из$0$к$\theta$,

$$\sin\theta\le\theta.$$

Затем интегрирование из$0$к$\theta$,

$$1-\cos\theta\le\frac{\theta^2}2.$$

Затем интегрирование из$0$к$\theta$,

$$\theta-\sin\theta\le\frac{\theta^3}6.$$

Затем интегрирование из$0$к$\theta$,

$$\frac{\theta^2}2+\cos\theta-1\le\frac{\theta^4}{24}.$$

И так далее. Это восстанавливает разложение Тейлора с гарантированной оценкой. (Вы можете симметрировать, используя аргументы четности.)

Answer 2

Среди известных неравенств можно также показать, что

$$\cos \theta \ge 1-\frac12 \theta^2$$

действительно, по тригонометрическим тождествам мы имеем, что

$$\cos(\theta)=1-2\sin^2 \left(\frac \theta 2\right) \ge 1-2\left(\frac \theta 2\right)^2=1-\frac12 \theta^2$$

и многие другие подобные неравенства могут быть получены из геометрических соображений или главным образом с помощью рядов Тейлора.

Обратитесь к соответствующему

• Как это доказать$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$?
• Докажите неравенства$1-\frac{x^2}{2}\le \cos(x)\le1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$
• Разложение Тейлора и тригонометрические функции
• Доказывая, что$x - \frac{x^3}{3!} < \sin x < x$для всех$x>0$