ब्रह्माण्ड का भास्कर सन्निकटन (x)
मेरे ज्ञान में सबसे अच्छा प्रतिफल $\sin$ तथा $\cos$ भास्कर सन्निकटन है जो है: $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ तथा $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$
सबसे अच्छा सन्निकटन क्या है $\cos(x)$ के लिये $ -\pi\leq x\leq 0$ (एक नियमित कार्य द्वारा)?
जवाब
सन्निकटन के संदर्भ में, आप अभिव्यक्ति में कितने शब्दों को शामिल करना चाहते हैं, इसके आधार पर आप बहुत कुछ कर सकते हैं। ज्यादातर समय, यह Padé सन्निकट का उपयोग करके किया जाता है।
उदाहरण के लिए, आपके प्रश्न के लिए, सरल का उपयोग करना $[3,2]$ आस-पास बनाया गया पद्म सन्निकट $x=-\frac \pi 2$, हमें मिला $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{7}{60} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 } {1+\frac{1}{20}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 }$$ जो एक पूर्ण त्रुटि की ओर जाता है $0.0042$ सीमा पर।
सुनिश्चित करने के लिए, आप आगे जा सकते हैं और इसका उपयोग कर सकते हैं $[5,4]$ पाडे अंदाज $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{53}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{551 }{166320}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+\frac{13}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{5 }{11088}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ जो एक पूर्ण त्रुटि की ओर जाता है $3.0\times 10^{-6}$सीमा पर। यह टेलर श्रृंखला के बराबर है$O\left(\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^{11}\right)$।
आपको संभावित सुधारों का विचार देने के लिए; उस पर विचार करे$P_n$ है $[2n+1,2n]$ की पैडी सन्निकट $\cos(x)$ के आसपास निर्मित $x=-\frac{\pi }{2}$ और आदर्श की गणना करें $$\Phi_n=\int_{-\pi}^0 \big[\cos(x)-P_n\big]^2\,dx$$
$$\left( \begin{array}{cc} n & \Phi_n \\ 1 & 3.92 \times 10^{-6} \\ 2 & 1.26 \times 10^{-12}\\ 3 & 2.23 \times 10^{-20} \end{array} \right)$$
ये सभी केवल सूचना (फ़ंक्शन और व्युत्पन्न मूल्यों) के आधार पर किए गए हैं $x=-\frac{\pi}{2}$।
लेकिन हम पूरी रेंज को कवर करने और उदाहरण के लिए विचार करने की कोशिश कर सकते हैं $$\cos(x) \sim \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1+a \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+b\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+c \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+d\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ और प्राप्त करें
$$a=\frac{-1952+672 \pi -192 \pi ^2+56 \pi ^3}{\pi ^3(\pi ^2-10)}$$ $$b=\frac{-3456+1056 \pi +768 \pi ^2-240 \pi ^3 } {\pi ^5 \left(\pi ^2-10\right) }$$ $$c=\frac{-192+72 \pi -104 \pi ^2+32 \pi ^3 } {\pi ^2 \left(\pi ^2-10\right) } $$ $$d=\frac{-4704+1504 \pi +400 \pi ^2-128 \pi ^3} {\pi ^4 \left(\pi ^2-10\right) }$$ जो अधिकतम पूर्ण त्रुटि देता है $5.96\times 10^{-8}$ और के बराबर मानदंड $2.73\times 10^{-15}$ (जो है $461$ से कई गुना छोटा है $\Phi_2$)।
आप देख सकते हैं कि गुणांक उन लोगों के बेहद करीब हैं $P_2$ लेकिन इन मामूली बदलावों से बहुत फर्क पड़ता है।
ये सभी अनुमान आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए बनाए गए हैं।
किसी फ़ंक्शन के लिए "सबसे अच्छा" सन्निकटन जैसी कोई चीज नहीं होती है, हमेशा ऐसे छोटे ट्वीक्स होते हैं जिनसे आप बेहतर सन्निकटन उत्पन्न कर सकते हैं।
हालाँकि, आपके प्रश्न के लिए, आप उस नोटिफ़िकेशन की मालिश कर सकते हैं जो आपने नोट किया था $$-\pi\leq x\leq 0 \iff -\frac \pi2\leq x+\frac \pi2\leq \frac \pi2$$
के लिए सन्निकटन $\sin(x)$ पर $[-\pi/2, \pi/2]$ जो भास्कर की आत्मा को सबसे अच्छा लगता है
$$\frac{22 \pi^2 x - 24 x^3}{\pi (7 \pi^2 + 4 x^2)}.$$
इसके लिए सटीक है $\lvert x \rvert \in\{0, \pi/6, \pi/2\}$और इसका व्युत्पन्न अंत बिंदुओं पर शून्य है। शिफ्ट बचे$\pi/2$ का एक अनुमान प्राप्त करने के लिए $\cos(x)$ पर $[-\pi, 0]$।
यह उसी डिग्री के Padé की तुलना में अधिकतम पूर्ण त्रुटि के संदर्भ में एक बेहतर सन्निकटन है। (रिमेज़ एल्गोरिथ्म एक और भी बेहतर पा सकता है। इस प्रदर्शनी के खंड 6 देखें ।) अंतराल के लिए स्केलिंग$[-1,1]$ अच्छे लग रहे सन्निकटन देता है $$\frac{11 x - 3 x^3}{7 + x^2} \approx \sin \left(\tfrac{\pi}2 x\right).$$