दिलचस्प "epimorphisms" $E_\infty$-छोटे स्पेक्ट्रा
$\newcommand{\Mod}{\mathbf{Mod}} \newcommand{\map}{\mathrm{map}_{E_\infty-A}}$ मान लीजिए $i:A\to B$ का नक्शा है $E_\infty$-छोटे स्पेक्ट्रा यह एक फनकार को प्रेरित करता है$\infty$-श्रेणियाँ $\Mod_B\to\Mod_A$ खोपड़ी के प्रतिबंध से।
एक उचित प्रश्न यह पूछना है कि यह पूरी तरह से विश्वासयोग्य कब है; स्केलर आसन्न के प्रतिबंध-विस्तार के counit का अध्ययन करना, यह जांचना बहुत आसान है कि यह मामला है या नहीं और केवल अगर$B\otimes_A B\to B$ ("गुणन" नक्शा) एक समतुल्यता है।
इसके खंडों का अध्ययन करके, अगर मुझसे गलती नहीं हुई है, तो एक जाँच करता है कि यह मामला है और यदि केवल दो ही निष्कर्ष हैं $i_0,i_1: B\to B\otimes_A B$ के नक्शे के बराबर हैं $E_\infty$-$A$-बैलब्रजस।
इसके लिए यह पर्याप्त है $A\to B$ एक "एपिमोर्फ़िज्म" हो $E_\infty$-$A$-एल्जब्रस (और मुझे लगता है कि यह वास्तव में समतुल्य है), अर्थात $\map(B,-)\to \map(A,-)$घटकों का समावेश हो; जबसे$\map(A,-) \simeq *$, यह कहने की मात्रा है $\map(B,C)$ सभी के लिए खाली या अनुबंध योग्य है $C$।
उदाहरण के लिए, ऐसा होता है $B$ का स्थानीयकरण है $A$ कक्षाओं के एक निश्चित सेट पर $S\subset \pi_*(A)$ (मिसाल के तौर पर $\mathbb{S\to Q, Z\to Q}, ku\to KU,$ आदि।)
मेरा सवाल यह है कि:
वहाँ दिलचस्प मामलों में जहां ऐसा होता है, लेकिन यह है नहीं ऊपर अर्थ में एक स्थानीयकरण?
में $1$श्रेणीबद्ध मामला, इस प्रश्न को कम्यूटेटिव रिंगों (जिसके लिए) की समरूपता के बारे में पूछा गया था$\Mod_B\to \Mod_A$ पूरी तरह से वफादार है अगर और केवल अगर $A\to B$ एक एपिमोर्फिज्म है), और ऐसे उदाहरण हैं जो न तो उद्धरण हैं और न ही स्थानीयकरण।
यहां, कोटेशन आमतौर पर इस संपत्ति को संतुष्ट नहीं करते हैं, "$x=0$"अतिरिक्त संरचना बन जाती है (उदाहरण के लिए) $\mathbb F_p\otimes_\mathbb Z\mathbb F_p \simeq \mathbb F_p[\epsilon], |\epsilon|=1$ जैसा $E_1$-एल्जब्रस), इसलिए यह पूछना उचित लगता है कि "एपिमोर्फिज्म" इस सेटिंग में कैसा दिख सकता है।
जवाब
अगर $A$ एक $E_\infty$ रिंग स्पेक्ट्रम और $i : A \to B$ का कोई नक्शा है $A_\infty = E_1$ रिंग स्पेक्ट्रा ऐसा है कि गुणा $\mu : B \wedge_A B^{op} \to B$ एक तुल्यता है, फिर $B \simeq LA$ कहां है $L$ की श्रेणी पर कुछ मुंहतोड़ Bousfield स्थानीयकरण है $A$-मॉड्यूल। विशेष रूप से,$B$ होगा $E_\infty$ तथा $i$ एक $E_\infty$नक्शा। ले रहा$A = S$ तथा $L = L_n$ जॉनसन-विल्सन सिद्धांत के संबंध में बूसफील्ड स्थानीयकरण होना $E(n)$, के लिये $0 < n < \infty$, ऐसे उदाहरण देता है जो किसी भी सेट पर बीजीय स्थानीयकरण द्वारा नहीं दिए गए हैं $S$ की कक्षाओं में $\pi_*(A)$। मुकदमा$n=1$ पर स्थानीयकरण से मेल खाती है ($p$—लोक) टोपोलॉजिकल $K$-थोरी, साथ $B = L_1 S$ की छवि से निकटता से संबंधित-$J$स्पेक्ट्रम। देखें रवेल की 1984 आमेर की परिभाषा 1.18। जे। मठ। एक मुंहतोड़ स्थानीयकरण की धारणा के लिए कागज, और प्रस्तावित एम्स संस्मरण 9.3.3 में "स्मैश मैप्स" के लिए संबंधित संबंध।