दोहराया eigenvalue ODE को हल करना

Question

मैं सिस्टम को हल करने की कोशिश कर रहा हूं: $$ \bar{x}' =\left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)\bar{x}+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space \bar{x}(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right) $$

अब तक मुझे विश्वास है कि दोहराया जड़ों के साथ $-8$, हम सामान्य समाधान है: $$ \bar{x}(t)=C_1\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)e^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)te^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}0\\ \frac{1}{4}\end{array}\right)e^{-8t}$$

फिर मैं विशेष समाधान चुनता हूं:

$\bar{x}_p=\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}te^{-8t}+\bar{c}t^2e^{-8t}$

$\bar{x}_p'=-8\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}(e^{-8t}-8te^{-8t})+\bar{c}(2te^{-8t}-8t^2e^{-8t})$

फिर बराबरी: $\bar{x}_p'=A\bar{x}_p+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right)$

$e^{-8t}$: $-8\bar{a}+\bar{b}=A\bar{a}+\left(\begin{array}{rr}3 \\ 1 \end{array}\right)$

$te^{-8t}$: $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$

$t^2e^{-8t}$: $-8\bar{c}=A\bar{c}$

हल $-8\bar{c}=A\bar{c}$:

$-8c_1+4c_2=8c_1$, इसलिए $c_2=0$

$-8c_2=-8c_2$, इसलिए $c_1=\alpha$

$\bar{c}=\left(\begin{array}{rr}\alpha \\ 0 \end{array}\right)$

हल $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$:

$-8b_1+4b_2=-8b_1+2\alpha$

$-8b_2=-8b_2+0$

$\bar{b}=\left(\begin{array}{rr}\beta \\ \frac{alpha}{2} \end{array}\right)$

लेकिन मैं वह नहीं हूं, जहां खोजने के करीब हूं $\bar{a}$, $\bar{b}$ तथा $\bar{c}$अपने समाधान को समाप्त करने के लिए क्योंकि मेरे पास बहुत सारे मुफ्त चर हैं। क्या कोई देख सकता है कि मैं कहाँ गलत हो रहा हूँ क्योंकि मैं थोड़ा भ्रमित हूँ? या एक बेहतर चालाक विधि की पेशकश के रूप में मेरा लगता है काफी clunky ...

Answer 1

हम दे रहे हैं

$$x' = Ax + g = \left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space x(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right)$$

हम eigenvalues ​​/ eigenvectors पाते हैं और एक पूरक समाधान रखते हैं

$$ x_c(t)=e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right)$$

Eigenvalues ​​और गैर-समरूप शब्दों के कारण, हम चुनते हैं

$$x_p(t) = e^{-8t}(\vec a + \vec b t + \vec ct^2)$$

यह देता है

$$x_p'(t) = e^{-8t}((-8 \vec a + \vec b) + (-8\vec b + 2 \vec c) t + (-8\vec c)t^2)$$

हमारे पास है

$$x_p'(t) = A x_p(t) + \vec g \implies \vec g = x_p'(t) - A x_p(t)$$

इसे लिखना (घातांक शब्द बाहर विभाजित)

$$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1-4a_2 \\ b_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 c_1 - 4 b_2 \\ -2c_2 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} -4c_2 \\ 0 \end{pmatrix}t^2$$

इसी से हमें मिलता है

$$a_1 = a_2 = c_2 = 0, b_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 2$$

हम अब लिख सकते हैं

$x(t) = x_c(t) + x_p(t) =e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right) + e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+ 3t \\ t \end{pmatrix}$

इसका उपयोग करना $x(t)$ आईसी के साथ, हम प्राप्त करते हैं

$$x(t) = e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+15t+1 \\ t+3 \end{pmatrix}$$

नोट: हमने इस प्रणाली को हल करने के लिए पूर्वनिर्धारित गुणांक का उपयोग किया और वह केवल एक दृष्टिकोण है, कई अन्य तरीके हैं।