एक विकल्प पर विकल्प
अनुबंध का मूल्य क्या है (वर्तमान समय में भुगतान किया जाना है $t_0$) जो पूर्व-निर्धारित मूल्य पर वनीला कॉल विकल्प (निश्चित हड़ताल K के साथ) खरीदने का अधिकार (लेकिन दायित्व नहीं) देता है $p$ भविष्य के समय में $t_e$? कीमत,$p$ पर निर्धारित होता है $t_0$ और पर भुगतान किया $t_e$यदि धारक विकल्प खरीदने का अधिकार रखता है। मान लें कि स्टॉक निरंतर अस्थिरता के साथ तार्किक है।
जवाब
प्रमाण अपेक्षाकृत लंबा है, इसलिए मैं तर्क और प्रमुख चरणों को प्रदर्शित करने पर ध्यान केंद्रित करता हूं।
हम एक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल पर काम करते हैं। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम हड़ताल के साथ एक विकल्प पर ध्यान केंद्रित करते हैं$P$ पर खरीदने के लिए $t_e$ पर एक यूरोपीय कॉल विकल्प समाप्त हो रहा है $T$एक शेयर पर लिखा है $S$। जोखिम-तटस्थ माप के संबंध में उम्मीदें हमेशा की जाती हैं$Q$ जब तक अन्यथा नहीं कहा गया है, और हम लिखते हैं $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$।
महत्व $C_t$ एक यूरोपीय कॉल विकल्प के बराबर है: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
महत्व $O_t$ एक यूरोपीय कॉल विकल्प पर एक विकल्प द्वारा दिया जाता है: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ जहां अंतिम असमानता, अनियमित उम्मीदों के कानून से उपजी है, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ मिश्रित हड़ताल है, और $S^\star$ का मूल्य है $s$ जो निम्न समीकरण को हल करता है: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ कहाँ पे $c$ एक यूरोपीय कॉल विकल्प के लिए अंधाधुंध ब्लैक-स्कोल्स की कीमत है: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
व्यवहार में, मात्रा $S^\star$ संख्यात्मक समीकरण को हल करके गणना की जा सकती है $(2)$, उदाहरण के लिए न्यूटन-राफसन द्वारा। अब, समीकरण में तीसरा शब्द$(1)$ लॉग-नॉर्मल वेरिएबल के ऊपर होने की संभावना मात्र है $S^\star$। शास्त्रीय ब्लैक-स्कोल्स के साथ समानता से, यह इसके बराबर है:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
दूसरे कार्यकाल की गणना करने के लिए $(1)$, हम परिभाषित करते हैं $Z$ तथा $Y$ ब्राउन मीन वृद्धि से प्रतिनिधित्व करने के लिए शून्य माध्य और इकाई विचरण के साथ दो स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर के रूप में $t$ सेवा $t_e$ और वहाँ से $T$। ध्यान दें कि:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ कहाँ पे $X$ निम्नलिखित सहसंबंध के साथ एक तीसरा मानक सामान्य चर है $Z$: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ इसलिए समीकरण में दूसरा शब्द $(1)$ संचयी द्वि-चर सामान्य संभावना से अधिक है $Z$ तथा $X$ उनके सहसंबंध द्वारा पैरामीटर $\rho$: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
समीकरण में पहली बार $(1)$, हम स्टॉक के उपाय की उम्मीद को मापते हैं, जहां स्टॉक स्टॉक है $S$, जो हम लिखेंगे $\mathcal{S}$: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
माप के इस परिवर्तन से निहित रेडॉन-निकोडिम प्रक्रिया है: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ माप के इस परिवर्तन के लिए "नोविकोव प्रक्रिया" इसलिए है $\theta_t:=-\sigma t$। इस प्रकार स्टॉक प्रक्रिया के तहत ब्राउनियन मोशन निम्नलिखित प्रक्रिया है:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
इसका तात्पर्य है कि इस नए उपाय के तहत स्टॉक का बहाव बढ़ता है $\sigma^2$। हम इक्वेशन का लाभ उठा सकते हैं$(4)$ लेकिन इस बार मानक सामान्य चर पर $Z'$, $Y'$ तथा $X'$ शेयर उपाय के तहत $\mathcal{S}$: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ अर्थात्: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ परिभाषित करना: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ फिर समीकरणों का संयोजन $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ तथा $(3.c)$, हम वांछित परिणाम प्राप्त करते हैं: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
जैसा कि आप देख सकते हैं, यह कॉल विकल्प के लिए ब्लैक-स्कोल्स समीकरण के समान है:
- के लिए मूल्यांकन सूत्र का तीसरा कार्यकाल $O_t$ ब्लैक-स्कोल्स फॉर्मूले में दूसरे शब्द के बराबर है, अर्थात् रियायती हड़ताल $P$ कई बार संभावना है कि विकल्प पर विकल्प का प्रयोग किया जाएगा;
- पहले दो शब्द संयुक्त रूप से कॉल विकल्प के ब्लैक-स्कोल्स मूल्य के बहुत करीब दिखते हैं: यह उम्मीद की जानी है, क्योंकि विकल्प कॉल विकल्प पर लिखा गया है। हालाँकि, संभावनाएँ$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ तथा $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ पर स्टॉक मूल्य के मूल्य के लिए खाता $t_e$ तथा $T$। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब आप वैनिला कॉल विकल्प में प्रवेश करते हैं, तो आपको ट्रेड डेट पर स्टॉक की कीमत पता होती है$t$ लेकिन समाप्ति पर नहीं $T$। इस स्थिति में, आप भविष्य में विकल्प दर्ज करेंगे$t_e>t$, इसलिए आप अंतर्निहित के मूल्य को न तो शुरुआत में जानते हैं $t_e$ न ही एक्सपायरी पर $T$: यह बढ़ अनिश्चितता द्वि-चर सामान्य वितरण द्वारा कब्जा कर लिया है।
मुझे लगता है कि आप एक यौगिक विकल्प की बात कर रहे हैं । यह लिंक में दिए गए ब्लैक-स्कोल्स मान्यताओं के तहत मूल्यांकन है। विकल्प पहले गेसके (1978) द्वारा प्राप्त किया गया था , मूल पेपर के लिए यहां देखें ।