एकाधिक झटका

Question

मान लो, मैं भीतर विचार करता हूं $\mathbb{P}^6$, उपनगरों $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ तथा $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $।

मैं समझना चाहता हूं कि किस चीज का झटका है $\mathbb{P}^6$ साथ में $Y,Z$। हैरिस की बीजगणितीय ज्यामिति पुस्तक के बाद, मैंने शुरू किया$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: का आदर्श $Y$ है $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$, और इसलिए मेरे पास एक तर्कसंगत नक्शा है

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ तथा $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ के ग्राफ से जुड़ी बंद किस्म है $\phi$।

अब मैं उड़ाना चाहूंगा $\mathbb{P}^6$ साथ में $Z$, इस प्रकार मुझे लगता है कि मुझे अध्ययन करने की आवश्यकता है

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

और यहाँ मेरे पास कई प्रश्न हैं:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? मुझे लगता है कि चूंकि मैं उपरोक्त प्रक्रिया दोहरा रहा हूं, इसलिए मैं सोच रहा था कि क्या कोई अनुक्रम है$n$उदाहरण के लिए -blow एक कार्टेशियन उत्पाद में रहते हैं $n+1$विशेष स्थान (पूरी तरह से मैं स्पष्ट रूप से एक Segre मानचित्र के माध्यम से उन्हें एम्बेड कर सकते हैं);
• क्या मैं एक साथ उड़ सकता हूं $\mathbb{P}^6$ साथ में $Y,Z$? क्या मैं एक ही निर्माण प्राप्त करता हूं?
• (उपरोक्त प्रश्न से जुड़ा): क्या होता है अगर $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. हां, आप ऐसा कर सकते हैं - जब भी आप किसी चीज को (स्थानीय रूप से) काटते हैं तो उसे उड़ा देते हैं $d$ अंदर समीकरण $X$, आप अपने ब्लोअप को उत्पाद में एम्बेड कर सकते हैं $X\times\Bbb P^{d-1}$। यह एक रिश्तेदार समर्थक के रूप में ब्लोअप के वर्णन से इस प्रकार है:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$और स्थानीय स्तर पर $X$ हमें एक आक्षेप मिलता है $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ जो (ग्लूइंग के बाद) एक बंद विसर्जन से मेल खाती है $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$।
2. यदि हाँ $Y,Z$ दो निराशाजनक उपसमूह हैं तो सभी ब्लोकअप के $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ तथा $Bl_{Y\cup Z} X$समान हैं। यह स्थानीय रूप से सत्यापित किया जा सकता है, क्योंकि ब्लोअप्स आपके द्वारा उड़ाए जाने वाली चीज़ से दूर आइसोमोर्फिम्स हैं।
3. यह हमारे निष्कर्ष के उस भाग को 2 से बदल देता है जब हम उचित रूप से सामान्यीकृत करते हैं: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(यह ईसेनबुड और हैरिस ' द जियोमेट्री ऑफ स्कीम्स ) में लेम्मा IV-41 है )। ध्यान दें कि यह कुल परिवर्तन है, न कि सख्त परिवर्तन - सख्त परिवर्तन आदेश के प्रति संवेदनशील हैं। इस के बराबर है या नहीं$Bl_{Y\cup Z}(X)$ शायद कैसे पर निर्भर करना चाहिए $Y$ तथा $Z$ अन्तर्विरोध, लेकिन मेरे पास अभी शिक्षाप्रद उदाहरण उपलब्ध नहीं हैं, और मूल रूप से विलक्षणताओं के समाधान के लिए सभी सामान्य सिद्धांत को एक सहज केंद्र के साथ एक झटका मानकर विकसित किया गया है, जो आपको 2 की स्थिति में वापस लाता है।