एक्स ^ 2 को कैसे दिखाया जाए?
मैं इस प्रकार निर्धारित व्युत्क्रम को परिभाषित कर रहा हूं:
$$f^{-1}(C) = \{x \in \mathbb{R}|\ f(x) \in C\}$$
फिर समारोह के लिए सेट होगा:
$$f(\mathbb{R})=\{f(x) \in C|\ x \in \mathbb{R}\}$$
मुझे लगता है कि दिखाने के लिए $f(x)=x^2$ उत्तल संरक्षण है
मुझे लेने की आवश्यकता होगी $f(x_1)\in f(\mathbb{R})$ तथा $f(x_2) \in f(\mathbb{R})$ (जो ये दर्शाता हे $x_1 \in \mathbb{R}$ तथा $x_2 \in \mathbb{R}$) फिर दिखा कि:
$$\theta f(x_1)+(1-\theta)f(x_2) \in f(\mathbb{R}),\ \ \ \ \theta\in[0,1]$$
तो फिर मुझे दिखाने की जरूरत है,
$$\theta x_1^2+(1-\theta)x_2^2 \in f(\mathbb{R})$$
लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि कैसे आगे बढ़ना है क्योंकि मैं इसे फॉर्म में नहीं डाल सकता हूं $(\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2$, जो मैं तब से दिखा सकता हूँ $x_1 \in \mathbb{R}$ तथा $x_2 \in \mathbb{R}$ फिर $\theta x_1 + (1-\theta) x_2 \in \mathbb{R}$ जो ये दर्शाता हे $(\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 \in f(\mathbb{R})$।
मैं उत्तल कार्य की परिभाषा से अवगत हूं:
$$f(\theta x+(1-\theta)y) \le \theta f(x) +(1-\theta)f(y)$$
लेकिन चूंकि हम कार्यों के बजाय सेट के साथ काम कर रहे हैं इसलिए यह थोड़ा अलग प्रतीत होता है। कैसे होगा$(\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 \le \theta x_1^2+(1-\theta)x_2^2\ $ मतलब है कि $\theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 \in f(\mathbb{R})$?
तो मैं कैसे दिखाऊंगा $f(x)=x^2$ उत्तलता को बरकरार रखता है और यह निर्धारित किया जाता है कि क्या इसका उलटा नहीं है?
जवाब
निरंतरता उलटा छवि द्वारा संरक्षित नहीं है, क्योंकि $\{1\}$ अभी तक उत्तल है $f^{-1}(\{1\})=\{1,-1\}$ nonconvex है।
उसे दिखाने के लिए $f$ उत्तलता को बनाए रखता है, चलो $y_1,y_2\in f(C)$, और जाने $\alpha\in(0,1)$। इसलिये$(\exists x_1,x_2\in C)$ ऐसा है कि $f(x_1)=y_1$ तथा $f(x_2)=y_2$। व्यापकता के नुकसान के बिना,$y_1\leq y_2$। जबसे$f$ निरंतर है $\mathbb{R}$, मध्यवर्ती मान प्रमेय गारंटी देता है कि \ start {समीकरण} (\ अस्तित्व \ xi \ in \ mathbb {R}) \ quad \ xi ^ 2 = f (\ xi) = \ अल्फा y_1 + (1- \ अल्फा) yy = \ अल्फा f (x_1) + (1- \ अल्फा) f (x_2)। \ end {समीकरण} अब यह केवल वह दिखाने के लिए शेष है$\xi$ में भी रहता है $C$। संकेत : के बाद से$\xi^2\in[x_1^2,x_2^2]$, या तो $\xi\in\left[-\sqrt{x_2^2},-\sqrt{x_1^2}\right]$ या $\xi\in\left[\sqrt{x_1^2},\sqrt{x_2^2}\right]$। के संकेतों पर केस विश्लेषण$x_1$ तथा $x_2$ बाकी उपज चाहिए :)