ग्राम मैट्रिक्स अंतर
मेरे पास मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन है $M=AXX^\top A^\top$, और मैं इसके प्रत्येक तत्व के संबंध में इसके व्युत्पन्न के लिए एक अभिव्यक्ति की तलाश कर रहा हूं $X$। यहाँ$A$ है $n\times n$ तथा $X$ है $n\times m$ साथ से $m\leq n$
इसलिए मैं कुछ फार्म की तलाश कर रहा हूं $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}} = D^{ij}$ साथ से $D^{ij}_{kl} = \frac{\partial M_{kl}}{\partial X_{ij}}$।
मैट्रिक्स कुकबुक के माध्यम से खुदाई करते हुए, मुझे यह या कोई भी सामान्य अभिव्यक्ति नहीं मिल पा रही थी जो ऐसा लगता था कि वे सहायक होंगे।
निकटतम मैं पहचान सकता था:$$\frac{\partial}{\partial X} b^\top X^\top X c = X (bc^\top + cb^\top)$$ कहां है $b$ तथा $c$वैक्टर हैं। मुझे ऐसा लगता है कि इसमें समाधान शामिल हो सकता है, लेकिन मैं अनिश्चित हूं कि इसे कैसे सामान्य किया जाए।
जवाब
हम व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं $\frac{dM}{dX}$ एक दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में: \begin{align*} \frac{dM}{dX}(Y) &= \lim_{t \to 0} \frac{M(X + tY) - M(X)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} \, . \end{align*} अंश का सरलीकरण, हम पाते हैं \begin{align*} A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top &= A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= A (X X^\top + tY X^\top + tXY^\top + t^2 Y Y^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top \, . \end{align*} इस प्रकार \begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} &= \lim_{t \to 0} \frac{tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top}{t}\\ &= \lim_{t \to 0} A(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t A Y Y^\top A^\top\\ &= A(Y X^\top + XY^\top)A^\top \, . \end{align*}
जैसा कि टिप्पणियों में बताया गया है, आंशिक $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}}$ तब प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है $Y = E_{ij}$, मैट्रिक्स के साथ a $1$ में $i,j$प्रवेश और शून्य कहीं और। इसलिए\begin{align*} \frac{\partial M}{\partial X_{ij}} &= \frac{dM}{dX}(E_{ij}) = A(E_{ij} X^\top + XE_{ij}^\top)A^\top = A(E_{ij} X^\top + X E_{ji})A^\top \, . \end{align*}