कॉम्पैक्ट इंटीग्रल ऑपरेटर?
मैं एक दिलचस्प रैखिक ऑपरेटर पर ठोकर खाई है। मुझे यकीन नहीं है कि यह कॉम्पैक्ट है:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$
मैंने निम्नलिखित तर्क का उपयोग करने की कोशिश की: चलो $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ बंधे रहने दो और चलो $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ कमजोर सीमा के साथ एक परिणाम हो $f \in L^2([0, 1])$। फिर:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ मैं अभी भी साबित कर सकता हूं कि यह $\sup$ कुछ पर प्राप्त होता है $x_{n_k} \in [0, 1]$ लेकिन यह निर्भरता के कारण मेरी मदद नहीं करता है $n_k$। अन्यथा मैं उस समय कमजोर अभिसरण का उपयोग करता।
वहाँ एक आसान तरीका है या यह भी कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है?
जवाब
यह एक परिमित रैंक ऑपरेटर है और इस प्रकार कॉम्पैक्ट है: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ कहां है $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, इसलिए एक बंधे हुए सेट की छवि 3-आयामी उप-क्षेत्र की एक विभाजित उपसमूह है $L^2([0, 1])$।
अगर $k(x,y)=a(x)b(y)$, कहां है $a$ तथा $b$ निरंतर कार्य कर रहे हैं $[0,1]$, तब फिर $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ इसलिए अभिन्न ऑपरेटर $T_k$, अभिन्न कर्नेल द्वारा दिया गया $k$, संतुष्ट करता है $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$, और, परिणामस्वरूप, $T_k$एक रैंक एक ऑपरेटर के रूप में देखा जाता है। अगर इसके बजाय,$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ कहां है $a_i$ तथा $b_i$ फिर से लगातार कार्य कर रहे हैं $[0,1]$, इसी अभिन्न ऑपरेटर संतुष्ट करता है $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ इसलिए रैंक की $T_k$ सबसे ज्यादा है $n$, इसलिए परिमित।
अगर हम अगली बार ऐसा मान लें $k$ कार्यों की एक समान सीमा है $k_n$ प्रपत्र (1) के लिए, यह देखना मुश्किल नहीं है $T_{k_n}\to T_k$, ऑपरेटर के आदर्श में, इसलिए $T_k$ एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है क्योंकि यह परिमित रैंक ऑपरेटरों की सीमा है।
स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय को आसानी से दिखाने के लिए लागू किया जा सकता है $C([0,1]\times[0,1])$ प्रपत्र (1) के सभी कार्यों द्वारा गठित घना है, इसलिए ऊपर दिए गए पैराग्राफ का निष्कर्ष किसी भी निरंतर के लिए है $k$। यह साबित करता है:
प्रमेय । पर कोई अभिन्न ऑपरेटर$L^2[0,1]$ एक सतत अभिन्न कर्नेल के साथ कॉम्पैक्ट है।