क्रमचय समूह उत्पाद

Question

चलो $E,F$ दो वेक्टर रिक्त स्थान हो और $\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$पी$ times}} \to F$ ए $p$-लाइन नक्शा। अगर$\sigma$ पर एक क्रमचय है $S_{p}$, तो हम दूसरे को परिभाषित कर सकते हैं $p$-लाइन नक्शा $\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$पी$ times}}\to F$ द्वारा द्वारा: $$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

अब, मेरी पुस्तक कहती है कि यदि $\tau, \sigma$ दो क्रमपरिवर्तन हैं, फिर: $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$ हालाँकि, मेरी गणना के अनुसार: $$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$ जबसे $[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$। मेरी गलती कहाँ है?

Answer 1

लिखते समय गलती हो जाती है

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

आपके पास

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

इसलिए अपनी पुस्तक की समानता $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

सामान्य तौर पर यह सच नहीं है $\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$ - यह केवल अगर लागू होता है $\tau$ तथा $\sigma$ में आवागमन $S_p$। उदाहरण के लिए$p=3$, $\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$। फिर$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

क्या सच है इसका मूल्यांकन करते समय $\sigma\tau\phi$ (उदाहरण के लिए), आप पहले आवेदन कर सकते हैं $\tau$ सेवा मेरे $\phi$ और फिर अंत में आवेदन करें $\sigma$, या आप पहले आवेदन कर सकते हैं $\sigma$ सेवा मेरे $\tau$ और फिर इस संयुक्त क्रमपरिवर्तन को लागू करें ($\sigma\tau$) सेवा मेरे $\phi$।