मॉड्यूल पर जाली
में lattices के मानक निर्माण $\mathbb{R}^n$ किसी भी परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष को ले कर सामान्यीकृत किया जा सकता है $V$ एक मैदान पर $F$ और एक सबरिंग $R$ का $F$विकिपीडिया के अनुसार (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group)।
क्या कोई कारण है कि केवल परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान यहां माना जाता है, और परिमित रैंक के मुक्त मॉड्यूल नहीं हैं? जाली को अभी भी एक योजक उपसमूह बनाना चाहिए, और मुझे लगता है कि आइसोमॉर्फिक लैटिस को देने के लिए ठिकानों की संपत्ति अभी भी समान होनी चाहिए। क्या कोई और महत्वपूर्ण संपत्ति है जो इस सामान्यीकरण के साथ खो गई है कि मैं गायब हूं?
जवाब
लैटिस के सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण गुण आंतरिक उत्पाद है जिसे आप प्राप्त करते हैं $\mathbb{R}^n$, साथ ही संबंधित वस्तुओं जैसे वॉल्यूम।
दिलचस्प और उपयोगी प्रमेयों में से कई बीजगणितीय और ज्यामितीय संरचनाओं के बीच बातचीत से आते हैं, उदाहरण के लिए मिंकॉस्की की प्रमेय और यह संख्याओं की ज्यामिति के लिए आवेदन है। क्रिप्टोग्राफी में इसके अनुप्रयोगों के लिए ज्यामिति भी महत्वपूर्ण है , क्योंकि किसी को सबसे छोटी वेक्टर समस्या जैसी चीजों के बारे में बात करने के लिए एक मानक की आवश्यकता होती है।
लैटिस के लिए एक समतुल्य परिभाषा है कि उन्हें एक मुक्त रूप में परिभाषित किया जाए $\mathbb{Z}$एक द्विघात रूप से सुसज्जित मॉड्यूल। ईगलिंग के "लैटिसेस एंड कोड्स" के पेज 3 पर निम्न सामान्यीकरण दिखाई देता है।
परिभाषा: चलो$R$एकता के साथ एक कम्यूटेटिव रिंग बनें। एक सममित बिलिनियर फार्म मॉड्यूल$(S,b)$ ऊपर $R$ एक जोड़ी है जिसमें एक स्वतंत्र है $R$-मापांक $S$ रैंक के $n$, और एक सममित बिलिनियर रूप $b : S \times S \to R$।
प्रस्ताव १.१ (ईबेलिंग) में अभिन्न अक्षांश$\mathbb{R}^n$ (lattices जहाँ हर डॉट उत्पाद एक पूर्णांक होता है) पूर्णांक पर सममित द्विभाजित रूप मॉड्यूल होते हैं $b$ एक सकारात्मक निश्चित सममित बिलिनियर रूप है।
पाठ में उल्लेख है कि सममित बिलिनियर के रूप में मॉड्यूल अधिक हैं $\mathbb{Z}$ सकारात्मक-निश्चित संपत्ति के बिना अध्याय 4 में अध्ययन किया जाता है, और पूर्णांक के छल्ले के उदाहरणों का अध्ययन अध्याय 5 में किया जाता है। आप उन्हें उपयोग के लिए दिलचस्प लग सकते हैं।