निरंतर preseaf का शीफिफिकेशन

Question

मैं शिथिलता के बारे में पढ़ रहा हूं लेकिन यह मेरे लिए बहुत सार है। मैं एक निरंतर preseaf के sheafification के उदाहरण के बाहर काम करने की कोशिश कर रहा हूं और मेरे सलाहकार मुझे यह उदाहरण देते हैं: चलो$X$ एक सामयिक स्थान हो और $A$एक अबेलियन समूह हो। लश्कर$\mathfrak{A}^+$ निरंतर कार्यों के लिए, अर्थात $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ कहाँ पे $A$ प्रत्येक खुले सेट के लिए असतत टोपोलॉजी है $U$। 3 चीजें हैं जो वह मुझे दिखाना चाहता है:

(1) $\mathfrak{A}^+$ एबेलियन समूहों का एक शेफ है।

(२) सभी डंठल $\mathfrak{A}^+_x=A$।

(३) प्राकृतिक मानचित्र $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ लगातार बहरे से डंठल पर एक आइसोमोर्फिज्म प्रेरित करता है

(1) एक फ़ंक्शन के बाद से आसान है $0$ अगर यह है $0$स्थानीय स्तर पर। मुझे लगता है कि (2) और (3) आसान होना चाहिए क्योंकि हमारे पास अधिक जानकारी नहीं है, लेकिन अजीब तरह से मुझे नहीं पता कि उनका उपयोग कैसे करना है।

(2) में, मुझे नक्शे पता हैं $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ कब $V\subseteq U$बस प्रतिबंध है। परिभाषा के अनुसार, डंठल$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$। लेकिन आप परिभाषा (निरंतर कार्यों के समूह) को कैसे परिवर्तित करते हैं$A$? मुझे यहां तक ​​लगता है कि हमारे यहां जानकारी का अभाव है क्योंकि हम खुले सेटों की संरचना को भी नहीं जानते हैं$X$, और मुझे प्रत्यक्ष सीमा से कोई प्राकृतिक नक्शा नहीं दिखता है $A$।

(३) मेरे लिए और भी अधिक अस्पष्ट है। कहो$U$खुला हैं। आप स्वाभाविक रूप से एक तत्व को कैसे मैप करते हैं$A=\mathfrak{A}$एक समारोह के लिए $U\to A$ में $\mathfrak{A}^+$? मुझे पता है कि नक्शे एक आरेख को संतुष्ट करते हैं, इसलिए$f_U(a)|_V=f_V(a)$ कहाँ पे $V\subseteq U$खुले सेट हैं। (2) के अनुसार दोनों के डंठल हैं$A$, लेकिन मुझे नहीं लगता कि प्रेरित मानचित्र की पहचान होगी, इसलिए यह समझना मेरे लिए कठिन है कि यह एक आईएसओ क्यों है?

मैं बीजगणितीय ज्यामिति में सिर्फ एक शुरुआत कर रहा हूं ताकि ये प्रश्न स्पष्ट हो सकें। धन्यवाद।

Answer 1

(1) बहुत अधिक आम तौर पर (और इसलिए बहुत आसान!):
एक मनमाना सामयिक स्थान दिया$Y$ एक शीफ है $\mathcal C_Y$ पर $X$ किसी भी खुले सबसेट के लिए आवश्यकता से विशेषता $U\subset X$ हमारे पास है $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$निरंतर कार्यों का सेट $U\to Y$।
तुम्हारी$ \mathfrak A^+$ बिल्कुल शीफ है $\mathcal C_A$, कहाँ पे $A$ असतत टोपोलॉजी के साथ संपन्न है।

(२) हमारे पास एबेलियन समूहों का एक रूपवाद है $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया: एक रोगाणु दिया $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ हम इसे कुछ निरंतर कार्य द्वारा दर्शाते हैं $g:U\to A$ और हम परिभाषित करते हैं $i(\gamma)=g(x)$।
यह आकारवाद एक समरूपतावाद है क्योंकि इसमें समूह आकृतिवाद का स्पष्ट उलटा है$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ भेजना $a\in A$ सेवा $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$पर रोगाणु $x$ लगातार कार्य करते हैं $\operatorname {const}(a): X\to A$ का कोई भी बिंदु भेजना $X$ सेवा $a$।

(३) किसी मोहल्ले के लिए $U\subset X$ का $x$ नक्शा $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ स्पष्ट रूप से इंजेक्टिव है, और इस प्रकार सीधे मानचित्र को सीमित करता है $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$इंजेक्शन भी है।
विशेषण भी आसान है: (बी) के एक रोगाणु की धारणा में$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ के तहत छवि है $f$ कीटाणु का $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$।
और इसलिए हमने सिद्ध किया है कि रूपवाद$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ वास्तव में विशेषण है।