समावेश एक समरूपता समतुल्यता है

Question

दिया हुआ $B\subseteq X$ दोनोंके साथ $B$ तथा $X$सिकुड़ने योग्य। आप यह कैसे साबित करेंगे कि समावेशन मानचित्र$i:B \to X$ एक समरूपता समतुल्यता है?

धन्यवाद

Answer 1

लश्कर $H_t$ के बीच समरूपता हो $Id_B$ और निरंतर नक्शा $f_B(x)=b$ तथा $G_t$ की पहचान के बीच समरूपता $X$ और निरंतर नक्शा $f_X(x)=b$। विचार करें$g:X\rightarrow B$ द्वारा परिभाषित $g(x)=b$।

$g\circ i=f_B$ तथा $i\circ g=f_X$

Answer 2

Tsemo Aristide द्वारा दिए गए विशिष्ट नक्शे के अतिरिक्त, निम्नलिखित प्रमेय है:

अगर $Y$ अनुबंध योग्य है, तो किसी भी दो नक्शे $X\to Y$ होमोटोपिक हैं (वास्तव में वे nullhomotopic हैं)।

संदर्भ: उदाहरण के लिए रोटमैन प्रमेय 1.13 द्वारा 'बीजगणितीय टोपोलॉजी का परिचय'

प्रमाण कठिन नहीं है।

इसके साथ ही यह कथन पूरी तरह से तुच्छ है, जैसा कि $B$ तथा $X$अनुबंधित हैं। इसके अलावा हर निरंतर मानचित्र$B\to X$ समरूपता समरूपता है।