स्कुबर्ट पथरी

Question

चलो $X = Gr(2,4)$ के जटिल ग्रासमैनियन $2$-प्लेन इन $V = \Bbb C^4$ तथा $S$ टॉटोलॉजिकल बंडल, $Q$भागफल बंडल। कोहमोलॉजी रिंग द्वारा उत्पन्न होता है$c_1(S), c_2(S)$ संबंधों के साथ $c(S)c(Q) = 1$वेक्टर बंडल के छोटे सटीक अनुक्रम से आ रहा है $0 \to S \to V \to Q \to 0$।

एक मिलना चाहिए $c_1(S)^4 = 1$विशुद्ध रूप से इन संबंधों से लेकिन मैं ऐसा करने में सक्षम नहीं हूं। क्या कोई समझा सकता है कि यह कैसे करना है?

Answer 1

सबसे पहले, $c_1(S)^4 = 2$, नहीं 1. गणना अपने आप में काफी आसान है। मुझे निरूपित करते हैं$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$। फिर संबंध हैं$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ पहला देता है $b_1 = -a_1$दूसरा देता है $b_2 = a_1^2 - a_2$, और अंतिम दो देते हैं $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ पिछले दो समानता का संयोजन देता है $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ इसलिये $a_1a_2^2 = 0$। इसका मतलब यह है कि कोहमोलॉजी की अंगूठी को फैलाया जाता है$\mathbb{Z}$ द्वारा द्वारा $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, और कि $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ जो आवश्यक समानता में अनुवाद करता है $c_1(S)^4 = 2$।