शून्य में भिन्नता

Question

द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर विचार करें,

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

मैं अब निर्धारित करना चाहता हूं $k$ तथा $m$ ऐसा है कि $f$ में अलग है $x=0$।

इसके अलावा, मैं निर्धारित करना चाहता हूँ $k$ ऐसी है कि लाइन $k=y-36x$ द्वारा दिए गए निम्न वक्र के लंबवत है,

$$y=\frac{1}{|x-7|}$$

पहले कार्य के लिए मैंने निष्कर्ष निकाला $m=1$ तथा $k\in \mathbb{R}$। क्या यह सही है, दूसरे कार्य के लिए, मैंने कोई प्रगति नहीं की है

Answer 1

निरंतरता:

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)\\\Longrightarrow m=\tan 0 + \cos 0 \\ \Longrightarrow m=1$

भिन्नता:

$f'(x)=\begin{cases} 2x+k &-\frac{\pi}{2}<x<0\\ \sec^2x-\sin x &0\leq x<\frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Longrightarrow 2\cdot 0 +k=\sec^2 0-\sin 0 \\ \Longrightarrow k=1$

Answer 2

आप 2 समीकरण प्राप्त कर सकते हैं- एक निरंतरता के लिए और दूसरा विभिन्नता के लिए।

चेकिंग सुविधा

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}h^2-kh+m=\tan h +\cos h$$ $$\implies \boxed{m=1}$$

चेकिंग की योग्यता $$f'(x)=\begin{cases} 2x+k & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \sec^2(x)-\sin(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}-2h+k=\sec^2(h)-\sin(h)$$

मैं आपको निष्कर्ष निकालने दूंगा।