Дискретный про. распределение: биномиальное
Мы знаем, что для биномиального распределения, когда мы хотим узнать, сколько результатов события произошло, а не использовать древовидную диаграмму, мы можем использовать выборки или комбинации. Например, пусть случайная величина X представляет количество орлов после трехкратного подбрасывания монеты, и мы хотим знать вероятность. голов выходит один раз.
Мы бы сказали, что Pr (X = 1) = 3C1 раз ... проб. раз успеха проб. неудачи.
Потому что мы знаем, что есть три способа выбрать одну голову. Из древовидной диаграммы: HNN, NNH, NHN. H = головы, N = нет голов.
У меня вопрос: почему правильно использовать комбинации, когда ясно, что мы не используем комбинации для вещей, где порядок имеет значение. Здесь мы можем видеть, что, поскольку эти HNN, NNH, NHN - это разные вещи, содержащие один и тот же элемент из одной головы и двух голов, ясно, что порядок имеет значение. Почему мы не можем вместо этого использовать перестановки?
Ответы
Перестановки подсчитывают расположения отдельных объектов. Элементы последовательности орла и решки не могут быть различимы, если длина последовательности больше двух.
Например, количество перестановок букв слова COUNT, которое имеет пять различных букв, равно $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$ а количество трехбуквенных перестановок букв слова COUNT равно $$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
С другой стороны, количество различимых перестановок букв слова РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, в котором не все буквы различны, равно $$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$поскольку мы должны выбрать три из двенадцати позиций для Is, две из оставшихся семи позиций для Ts, а затем расположить семь отдельных букв D, S, R, B, U, O, N в оставшихся семи позициях. Фактор$3!$в знаменателе представляет собой количество способов, которыми мы могли бы переставлять «И» между собой в пределах данного расположения, не создавая расположения, отличного от данного расположения; фактор$2!$ в знаменателе представляет собой количество способов, которыми мы могли бы переставить Ts между собой в пределах данного расположения, не создавая расположения, которое отличимо от данного расположения.
В вашем примере мы используем комбинации, поскольку последовательность орлов и решек полностью определяется путем выбора позиций орлов, так как остальные позиции последовательности должны быть заполнены решками.
В общем, в задаче биномиального распределения мы определяем один из результатов как успех, а другие результаты как неудачу. Вероятность получения именно$k$ успехи в $n$ испытания, каждое с вероятностью $p$ успеха $$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ где $p^k$ это вероятность $k$ успехи, $(1 - p)^{n - k}$ это вероятность $n - k$ неудачи и $\binom{n}{k}$ подсчитывает количество способов, которыми $k$ успехи могут произойти в $n$испытания. Обратите внимание, что при выборе$k$ из $n$ испытания являются успехами, полностью определяет результаты, если есть точно $k$ успехов, так как оставшиеся $n - k$ испытания должны приводить к неудачам.