Доказывать: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$
В настоящее время я просматривал формулу
$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$
что, конечно же, является закрытой формой принципа неопределенности Гейзенберга . Но я также получаю эту формулу
$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$
Я предполагаю, что это продолжение принципа Гейзенберга, но я не нашел в книге такой записи. Кроме того, я думаю, что это могло быть связано с гипотезой де Бройля и может быть некоторым расчетом, но это всего лишь предположение. Поэтому по этим причинам я желаю от вас ответа, и, более того, было бы лучше иметь некоторую физическую интерпретацию этой формулы, как у нас для принципа Гейзенберга .
Ответы
Исходя из общего принципа неопределенности для двух произвольных операторов$\Omega$ и $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ куда $|\psi\rangle$ является произвольным состоянием и $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, коммутатор. Мы знаем от Де Бройля, что$\lambda=\frac{h}{p}$; отсюда мы вычисляем скобку Possion$x$ и $\lambda$ в качестве $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Популярное правило квантования Дирака (работающее во многих случаях) состоит в том, что $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ так что у нас есть $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Подключив это к исходному общему принципу неопределенности,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ и поэтому $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Теперь из определения стандартного отклонения мы знаем, что $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, так что у нас есть $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$потому что стандартное отклонение положительно определено. Таким образом, обозначая математическое ожидание$\Lambda$ в качестве $\lambda$, наконец-то у нас есть $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Этот принцип неопределенности отличается от нормального принципа положения-импульса; вместо того, чтобы произведение неопределенностей всегда было больше константы, произведение стандартного отклонения положения и длины волны больше или равно среднему значению длины волны, деленному на$4\pi$. Таким образом, он связывает неопределенности положения и длины волны со средним значением длины волны.