Это линейное преобразование?

Question

Я столкнулся с вопросом, если f(x) = x + y($x$ и $y$ - векторы) - линейное преобразование.

Я бы ответил, что это не линейное преобразование, потому что если бы y было чем-то другим, кроме нулевого вектора, то для $x =$ нулевого вектора, результирующий вектор не будет нулевым вектором и, следовательно, начало координат не останется на месте.

Но если $y$ будет нулевым вектором, будет ли это считаться линейным преобразованием?

Спасибо

Answer 1

У нас есть $f(x+x') = (x+x')+y = x+x'+y$, но $f(x)+f(x') = (x+y)+(x'+y) = x+x' +2y$.

Так что если $y=0$, $f(x+x') \ne f(x)+f(x')$ и, следовательно $f$ не является линейным преобразованием.

Answer 2

Функция $f$вы определили это называется переводом шага $y$, где $y$вектор. Некоторые учебники пишут переводы как$t_y(x) = x+y$, где оба $x$ и $y$ являются векторами.

Да, ты прав: если только $y$ - нулевой вектор, $f$не является линейным преобразованием. Я скажу вам больше: поскольку это действительно перевод, вы также можете доказать, что единственный перевод, который также является линейным преобразованием, - это перевод по нулевому вектору, который является не чем иным, как тождеством.$$t_y \; \text{is a linear transformation} \iff y=\vec{0}$$