IMO 1998 - Комбинаторика

Question

Я пытаюсь решить эту проблему IMO Combinatorics $1998$ P2, который выглядит так:

В соревновании есть $m$ конкурсанты и $n$ судьи, где $n \geq 3$нечетное целое число. Каждый судья оценивает каждого участника как «прошел» или «не прошел». Предположим$k$ такое число, что у любых двух судей их рейтинги совпадают не более $k$конкурсанты. Докажи это$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

Я совершенно не понимаю, с чего начать, не могли бы вы мне подсказать?

Answer 1

Учитывайте количество комбинаций $(\{j_1, j_2\},c)$, где $\{j_1, j_2\}$ пара разных судей, и $c$участник, с которым они согласны. Вы можете получить это количество двумя способами:

1. Сумма участников, количество пар судей, которые с ними согласны.

2. Суммируйте пары судей, количество участников, с которыми они согласны.

Тогда величина, суммируемая в 1., может быть ограничена снизу выражением, содержащим $n$ (помнить $n$ нечетно), тогда как сумма, суммируемая в 2, может быть ограничена сверху величиной $k$. Комбинирование дает желаемое неравенство.