Почему все движение в твердом теле прекращается сразу?
Я читал книгу, в которой возникла проблема:
Недовольный хоккеист бросает хоккейную клюшку по льду. Он вращается вокруг своего центра масс при скольжении и в конечном итоге останавливается под действием трения. Его вращение прекращается в тот момент, когда его центр масс останавливается, а не до и не после. Объяснить, почему.
Я видел аналогичный вопрос: почему хоккейная клюшка, брошенная на лед, всегда вращается и перемещается вместе, прежде чем остановиться? Почему не только вращать, а только переводить? но я не чувствовал себя удовлетворенным ответом.
Вопрос был в главе об энергии, поэтому я попытался решить его с помощью энергии. Я подумал, что если сила трения на COM была F, и он прошел расстояние s перед остановкой, то мы можем написать уравнение$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$где LHS представляет собой начальную кинетическую энергию. Мы также могли бы написать аналогичное уравнение для вращательной энергии, но я не уверен, что делать после этого. Разумно ли вообще пытаться доказать это строго или просто рассуждать?
Другой вопрос, возникший в результате размышлений над этим вопросом, заключался в том, как бы вы измерили крутящий момент, создаваемый трением, поскольку он распределяется по рукояти, а не только в одной точке?
Ответы
Если палка представляет собой стержень, имеющий ровный контакт с землей по своей длине, сила трения, препятствующая вращению, предлагает смоделировать ее как 2 консольные балки с равномерно распределенной нагрузкой, закрепленные в COM. Нагрузка на трение распределяется по его длине, в результате чего макс. крутящий момент близок к COM и нулевой на концах.
Таким образом, для небольшой области, близкой к концам, общий крутящий момент является результатом только нагрузки на эту область: $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ а сила трения в элементе равна $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
Момент инерции $\delta I = \delta m r^2$ и $$\omega = \frac{v}{r}$$
Так, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
Если мы увеличим силу, чтобы уменьшить среднюю скорость поступательного движения в той же области: $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
При одинаковом ускорении они должны уменьшаться вместе. Если это произойдет для концов планки, все тело перестанет вращаться и двигаться линейно одновременно для этой модели.
Но если, например, центральная часть имеет контакт, но не концы, вполне возможно, что стержень продолжает вращаться после остановки своего поступательного движения.
Я не считаю это утверждение правильным. Как правило, скользящий объект может перестать вращаться или перемещаться до того, как остановится другое движение. Может быть только один.
Например, возьмем однородный диск. Покрутите его и поставьте на лед. Некоторое время он будет вращаться на месте, а затем остановится. Точно так же сдвиньте его, не вращая. Он остановится.
Как видно из публикации, которую вы связали, хоккейная клюшка - особенная. У него разные коэффициенты трения на разных концах. Это может заставить его вращаться, если вы просто начнете скользить. Но это не обязательно. Сдвиньте его концом с высоким коэффициентом трения назад, как будто стреляете из лука. Он остановится без вращения.
Если вы дадите ему немного вращения и большую скорость, трение может сориентировать его, прежде чем он скользит до остановки.
Прочитав другие ответы (+1 к обоим), я пришел к выводу, что моя интуиция ошибалась. Вращение и перемещение останавливаются одновременно.
Вот статья, в которой анализируется связь скольжения и вращения с тонкими дисками, и почему оба движения останавливаются одновременно. В статье представлена математическая модель и представлены результаты экспериментов с компакт-диском на нейлоновой поверхности, которые проверяют теорию.
Изменить в ответ на комментарии: Математическая модель предполагает плоский диск с однородным распределением массы и явно игнорирует эффекты от его конечной высоты (неоднородная нормальная сила, приводящая к искривленным траекториям). В экспериментах используется компакт-диск в качестве приближения. Волчок может вести себя по-разному, хотя я могу заметить, что кончик волчка «блуждает» по поверхности в результате сил (таких как прецессия, дуновение воздуха или неровности поверхности), которых явно недостаточно для перемещения. это, если бы он не вращался.
Основная причина этого взаимодействия между вращением и скольжением заключается в том, что динамическое трение не зависит от скорости движения; это зависит только от нормальной силы (здесь гравитационная сила) и материальных констант. Его направление в каждой точке поверхности противоположно направлению скорости этой точки. В быстро вращающемся скользящем объекте все векторы скорости почти полностью тангенциальны, потому что вращательная часть преобладает над векторами. Величина векторов очень велика, но не имеет значения: сила трения от нее не зависит. Следовательно, силы трения также почти полностью касательные; они в основном компенсируют друг друга относительно поступательного движения и замедляют только вращение. 1
Фактически, момент трения (который замедляет вращение) выше, чем линейная сила трения (которая останавливает движение вперед), если вращение быстрое по сравнению с движением вперед - и наоборот. Вот почему «более быстрое» одно из двух движений тормозится сильнее, пока они не выровняются и не остановятся вместе. Рисунок ниже (стр. 2 статьи) показывает эту взаимозависимость.$\epsilon$ это частное поступательного движения и углового движения, $v/R\omega$. Для небольшого линейного движения, но быстрого вращения преобладает момент трения (левая часть рисунка (a)), а для быстрого линейного движения с небольшим вращением доминирует линейное трение (правая часть рисунка):
1 Это несколько необычно: мы часто «разбираем» скорости или силы на их составляющие и рассматриваем их индивидуально, независимо. В этом случае поперечный компонент влияет на продольное трение, потому что он изменяет направление вектора, и наоборот: потому что трение в заданном направлении не зависит от величины компонента вектора в этом направлении. Величина этого компонента постоянна, трение - нет. Довольно нелогично.