Полнота ТВС линейных операторов

Question

Позволять $A$ и $B$ - два банаховых пространства и рассмотрим линейное пространство $\mathbf{Ban}(A, B)$ограниченных линейных отображений с топологией равномерной сходимости на компактах. Поскольку эта топология порождается семейством полунорм$p_K = \sup\{\|Ta|\ \colon a\in K\}$ за $K$ компактное подмножество $A$, топология хаусдорфова и локально выпуклая. У меня вопрос: он полный? А если это известно, цитируемая ссылка?

Answer 1

Это действительно кажется проще, чем я (не) думал о супинтиме. Схема доказательства: сеть Коши в топологии равномерной сходимости на компактах является поточечной сетью Коши, поэтому она имеет поточечный предел. Легко видеть, что поточечный предел является линейным отображением, и, взяв поточечный предел в условии Коши, сходимость к этому пределу равномерна в компактах. Чтобы увидеть, что предел ограничен, достаточно доказать, что он сохраняет нулевые последовательности, но нулевая последовательность является относительно компактным множеством, поэтому желаемый вывод следует из обмена ограничениями, который возможен, поскольку сходимость равномерна на компактном множестве, образованном последовательностью и это$0$ предел.