Понимание перерасчета

Question

Пытаюсь понять, как поправить на завышение. Мне очень трудно понять следующий пример, т. Е. Я понимаю все слова и их значения, но мне трудно почувствовать себя «убежденным».

Покажи то:

$$\frac{(2 n) !}{2^{n} \cdot n !}=(2 n-1)(2 n-3) \cdots 3 \cdot 1$$

Интуитивное объяснение (через рассказ) в учебнике:

\ begin {array} {l} \ text {Мы покажем, что обе стороны подсчитывают количество способов разбить} 2 n \\ \ text {людей} n \ text {партнерства. Возьмите} 2 n \ text {людей и дайте им идентификационные номера от} 1 \ text {до} \\ 2 n \ text {. Мы можем формировать партнерские отношения, выстраивая людей в определенном порядке, а затем говоря} \\ \ text {первые два - пара, следующие два - пара и т. Д. Это превышает множитель} \\ \ text {of} п! \ cdot 2 ^ {n} \ text {, поскольку порядок пар не имеет значения, равно как и порядок внутри каждой пары} \\ \ text {. Или подсчитайте количество возможностей, отметив, что есть} 2 n-1 \\ \ text {варианты выбора для партнера человека} 1, \ text {then} 2 n-3 \ text {варианты выбора для человека} 2 \ text {(или person} 3, \ text {if} \\ \ text {person} 2 \ text {уже был связан с person} 1 \ text {) и так далее. } \ end {массив}

Может кто-нибудь объяснить мне 1) почему фактор $n! \cdot 2^n$ и 2) как рассчитывается RHS?

Answer 1

Первая часть говорит, что если мы скажем ABCDEF, то (AB) (CD) (EF) = (BA) (CD) (EF), а также (AB) (CD) (EF) = (CD) (AB) ( EF), при этом $2^n$ вариации первого типа, и $n!$ вариации второй.

Тогда у нас также есть $A$ может быть партнером $BCDEF$, затем загадочный человек $x$ может быть партнером с остальными $3$, и т.д. .

И $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{8\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = 5\cdot3\cdot1$.