Проблема теоремы Ролля

Question

Итак, есть вопрос, который требует от нас доказать, что между любыми двумя корнями $\tan x=1$ существует хотя бы один корень из $\tan x =-1$. Предположим, мы предполагаем, что$a,b$ два корня $\tan x-1=0$, тогда $f(a)=f(b)=0$, где $f(x)= \tan x-1$. Согласно теореме,$f'(c)=0$ где $c \in (a,b)$, т.е. $\sec^2 c =0$.... и это не определено. Либо что-то не так с моим пониманием, либо с проблемой. Пожалуйста помоги.

Answer 1

Функция $f(x)=\tan(x)-1$ не является непрерывным для каждого $x\in[a,b]$, ($a,b$ являясь последовательными корнями $f$), поэтому теорема Ролля неприменима в таком интервале.

Answer 2

Позволять $f(x)=\tan x -1$, и $g(x)=\tan x +1$.

Корни $f(x)$ происходят в интервале $I=[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ для некоторых $k\in\mathbb{Z}$. Корни$f(x)$ происходят в конечных точках интервала $I$.

Корни $g(x)$ происходят в интервале $J=[-\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ для некоторых $k\in\mathbb{Z}$. Корни$g(x)$ происходят в конечных точках интервала $J$.

Интервал $(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ содержится в $[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ и корень $g(x)$ происходит в $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$. Корни$f(x)$ происходят в $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ и $x=\frac{5\pi}{4}+\pi k$.

$\frac{\pi}{4}+\pi k<\frac{3\pi}{4}+\pi k<\frac{5\pi}{4}+\pi k $.

Итак, есть хотя бы один корень $g(x)$ между любыми двумя корнями $f(x)$.