Соль в таре - задача ODE

Question

Мы работаем с емкостью для воды объемом до 1000 литров. Емкость для воды изначально содержит 500 литров воды, в которой растворено 20 кг соли. В емкости происходит перемешивание, поэтому концентрация соли везде одинакова.

Чистая вода течет в емкость со скоростью 4 л / мин. В то же время соленая вода вытекает из емкости со скоростью 2 л / мин. Это вызывает проблемы, так как емкость только 1000 л. Через некоторое время звучит сигнал тревоги из-за наполненного контейнера.

а) В какое время срабатывает будильник?

Дифференциальное уравнение, описывающее эту проблему, имеет вид

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Заявлено, что при срабатывании будильника содержание соли составляет 10 кг, т.е. $y(250)=10$. Как только звучит сигнал будильника, приток меняется, и теперь соленая вода течет с 35 г соли на каждый. литров из расчета 1 л / мин. По-прежнему вытекает 2л. минута.

б) Сколько соли в контейнере, когда в контейнере снова 500 л?

---

Мой ответ: ну (а) было довольно просто, я понял, что будильник сработает через 250 минут, так как $500+2\cdot 250=1000$и тогда зазвонит будильник. Но последняя часть, т.е. (б), дается мне непросто. Я считаю, что мне нужно сделать ODE из только что полученной информации, но здесь я пробовал много раз. Обратите внимание, что эта проблема возникла из книги, где было больше вопросов, я просто выбрал соответствующую часть. (б) также указано в книге как «добровольное». Заметьте, это не домашнее задание.

Answer 1

Для части (b),

у вас есть $1000$ литр воды, для начала с которой $10$ кг соли.

Объем воды уменьшается со скоростью 1 литр / мин (1 литр поступает и 2 литра вытекает каждую минуту). Это займет$500$ минута, чтобы уменьшить $1000$ литр в $500$ литр.

Таким образом, объем воды, оставшейся в баке спустя время $t$ минут $= 1000 - t$

Соль поступает со скоростью $0.035$ кг / мин.

Скажите, что есть $y$ кг соли в данный момент времени $t$ в $1000-t$ литр воды.

Тогда во время $t$, соль вытекает со скоростью $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (в виде $2$ литр в минуту вытекает)

Так скорость изменения соли $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Скажем $x = 1000 - t$ затем с заменой,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(я)

Теперь, чтобы решить это линейное уравнение, мы должны использовать интегрирующий коэффициент. Я использовал WolframAlpha для проверки.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

Умножая обе стороны на $\mu$ в (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Подставляя обратно $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

В $t = 0$, есть $10$ кг соли.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Итак, постоянная $c = -\frac{25}{1000^2}$

В $t = 500$,

Общая соль $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ кг.