Свойство интеграции

Question

Позволять $T>0$исправлено. Позволять$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ дифференцируемые функции такие, что для некоторых $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

я знаю это $f\cdot g$ также интегрируемо.

Вопрос. Это правда, что$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Я подумал о применении интеграции по частям, чтобы попытаться доказать это, но не смог ничего сделать.

Answer 1

Это неправда. $f(x)=c+1$ и $g(x)=-1$ приводит контрпример.

Однако если у нас также есть $g(x) \geq 0$ тогда $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ так $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ который дает $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.