Задача геометрии - IOQM

Question

В $\triangle ABC$, $AC = BC$, $\angle C=20^{\circ}$, $M$ на стороне $AC$ и $N$ на стороне $BC$, так что $\angle BAN=50^{\circ}, \angle ABM = 60^{\circ}$. найти$\angle NMB$ в градусах.

Это вопрос уровня INMO-IOQM, и я не могу его решить, пожалуйста, помогите. Я пытался погоняться за углом, но безуспешно.

Answer 1

Тригонометрическое решение

Позволять $\angle NMB=\alpha$

$\dfrac{BN}{\sin\alpha}=\dfrac{MB}{\sin(160-\alpha)}$,$\triangle NMB$,и, $\dfrac{AB}{\sin40}=\dfrac{MB}{\sin 80}$, $\triangle AMB$ (Теорема синуса)

поскольку $AB=BN$, тогда

$\dfrac{\sin\alpha}{\sin(160-\alpha)}=\dfrac{\sin40}{\sin 80}=\dfrac{1}{2\cos40}$

$\sin(160-\alpha)=2 \sin\alpha \cos40=\sin(\alpha+40)+ \sin(\alpha-40)$

$\sin(160-\alpha)- \sin(\alpha-40)=\sin(\alpha+40)$

$2\cos60 \sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

$\sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

1. случай

$100-\alpha=\alpha+40 \implies \alpha=30$

1. случай

$100-\alpha+\alpha+40=180 \implies 140\not=180$ , NA

Answer 2

Возьмем точку P на AC между A и M такую, что $\angle ABP=20$

Следовательно $BA=BP$

$\angle PMB= \angle PBM= 40$

Следовательно $PB=PM$

$\angle BAN= \angle BNA= 50$

Следовательно $BA=BN$

Так $\triangle BPN$ равносторонний треугольник

$PN=PM$ и $\angle MPN=40$

в заключение

$\angle PMN= \angle PNM= 70$

$\angle NMB= 30$