Запишите строку в параметрической форме
Скажем, у меня есть линия $3x+4y=2$
Я хочу записать это в параметрической форме. Вы решаете либо x, либо y.
Решение для x: $x=\frac{2}{3}+\frac{-4t}{3}$
Решение для y: $y=\frac{2}{4}+\frac{-3x}{4}$
В параметрической форме они становятся:
$\begin{bmatrix}2/3 \\ 0\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 4/3\\ 1\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}0 \\ 2/4\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 1\\ 3/4\end{bmatrix}$
Если я построю их, решение для линии y будет таким же, как 3x + 4y = 2. Я вижу в Интернете примеры людей, решающих как х / у, так и взаимозаменяемые. Я что-то не понимаю? Что, если я хочу написать строку в форме параметра, имеет ли значение переменная, которую я решаю?
Ответы
В частности, когда у вас есть неявное уравнение, вы можете решить либо $x$ или $y$ для получения параметрической версии (за исключением случаев, когда либо $x$ или $y$ не появляется в неявном уравнении, например в строках $x-2=0$ и $3y+5=0$). Однако параметрические представления не уникальны, поэтому одна линия может быть представлена любым количеством параметрических уравнений.
В общем случае, если одна линия имеет двухпараметрическое представление $\mathbb a_i + t \mathbb b_i$ для $i=1,2$ тогда мы должны иметь $\mathbb b_1$ ненулевое кратное $\mathbb b_2$ и оба $\mathbb a_1$ и $\mathbb a_2$ должен лежать где-то на линии, то есть $\mathbb a_1 + t\mathbb b_1 = \mathbb a_2$ за некоторую стоимость $t$.
В вашем примере вы можете выбрать параметр $t$ быть равным $x$ или $y$ или действительно какое-то другое количество, такое как $t=x+y$ давая
$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{-2\\2} \right)+ t \left( \array{4\\-3} \right) $$Итак, включая два, которые вы получили, у нас есть три представления в параметрической форме. Кстати, у вас неправильный знак в ваших двух формулах, которые должны читать$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{2/3\\0} \right)+ t \left( \array{-4/3\\1} \right) \quad\text{and}\quad \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{0\\2/4} \right)+ t \left( \array{1\\-3/4} \right) . $$