Ters Laplace dönüşümünü bulma $\frac{s}{(s+1)^3}$ ters çevirme formülü kullanarak
Laplace dönüşümünün tersini bulmam gerekiyor $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$Bromwich Integral kullanarak. Bromwich kontur gibi bir şey olacaktır bu .
Aslında bu sorunu aşağıdaki bağlantıda görebilirsiniz: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. Bilmek istiyorum, neden integrali birlikte göstermeliyiz$L_u$, $C_R$, $L_D$ dır-dir $0$? Demek istediğim, bazı kitaplarda (örneğin Mathematical Methods for Physicists, 3. baskı) birçok örnek gördüm, laplace dönüşümünün tersini çözmek için kalıntıyı basit kutuplarda göstermem gerekiyor
Yani, bu durumda şöyle olmalıdır:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
İntegrali neden birlikte göstermemiz gerektiğini açıklayabilir misin? $L_u$, $C_R$, $L_D$ dır-dir $0$ (verilen bağlantıya göre) eğer kalıntı teorisi integrali değerlendirmek için yeterli ise, ters laplace dönüşümünü bulmak için $F(s)$?
Umarım bana açıklarsın. Bununla ilgili daha fazla şey öğrenmek istiyorum ama bu soruya gelince hala kafam karışıyor. Çok teşekkürler!
Yanıtlar
Kalıntı Teoremi bir uzantısıdır Cauchy İntegral Teoremi . Her iki teorem de basit bir bağlantılı etki alanı içinde düzeltilebilir kapalı eğrilerle başlar.$\mathbb{C}$.
Ters Laplace Dönüşümü $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$, ile ifade edilir
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
nerede $c$ tüm tekilliklerinden daha büyük olan gerçek bir sayıdır $F(s)$.
Kalıntı Teoremini uygulamak için integralini değerlendiriyoruz $F(s)e^{st}$kapalı ve düzeltilebilir bir eğri üzerinde. Böylece analize başlıyoruz ve yazıyoruz
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
OP'nin özel sorusu göz önüne alındığında, burada tekilliklerin $F(s)$kutup tekillikleridir. Eğer$F(s)$ dallanma noktası tekilliklerine sahipse, Bromwich yolunu, dallanma noktaları ve karşılık gelen dal kesimleri kapalı konturun dışında kalacak şekilde kapatırdık.
Varsayalım ki $N$ kutup sayısı $F(s)$ kapalı konturun içinde $C$ ve konumunu belirtin $n$'th pole sıralama $s_n$, nerede $n=1,2\cdots N$. Sonra, Kalıntı teoreminden elde ettik,
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
Ek olarak $R\to \infty$, sağ taraftaki ilk integral $(2)$ yaklaşımlar $2\pi i f(t)$ ifade edildiği gibi $(1)$. Yani, eğer integral biterse$L_u+C_R+L_d$ olarak kaybolur $R\to \infty$sonra eşitlemeden $(2)$ ve $(3)$, onu bulduk
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
NOT: içindeki ifade$(4)$ varsayımına dayanıyordu
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
Eğer $(5)$ tutamazsa $(4)$ aynı şekilde tutunamaz.