अगर $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$, ई आल्सो $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$?

Question

चलो $(E_1,\mathcal E_1)$ तथा $(E_2,\mathcal E_2)$दो औसत दर्जे का स्थान हो। चलो$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$। चलो$\mathbb P$ पर एक वैध संभावना वितरण $(E,\mathcal E)$। सीमांत वितरण को परिभाषित करें$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ तथा $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$, और अंत में उत्पाद वितरण को निरूपित करता है $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$। अंत में मान लें कि हम जानते हैं\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} मेरा सवाल यह है कि अगर यह भी है कि रखती है \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

विशेष रूप से, अगर यह गलत है, तो मुझे एक प्रति-दर्शन देखने की उम्मीद है और मुझे यह जानने में भी दिलचस्पी होगी कि क्या यह मामले में सच है $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ कुछ कार्यों के लिए $g$ तथा $h$।

Answer 1

यह सामान्य रूप से सही नहीं है।

चलो $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$, और जाने $\mu$ पर कुछ संभावना उपाय हो $\mathbb{R}$पहले क्षण के साथ (उदाहरण के लिए कॉची वितरण)। चलो$\mathbb{P}$ का संयुक्त कानून हो $(X, X)$ कहां है $X \sim \mu$। अंत में दो$f(x,y) = x-y$। के अंतर्गत$\mathbb{P}$, अपने पास $Y=X$ के रूप में, और इसलिए $f(X,Y)=0$ के रूप में, तो $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$। लेकिन के तहत$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$, अपने पास $X,Y$ ईद हैं $\mu$, और यह इस प्रकार है $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$। इसे देखने के लिए, लिखने के लिए टोनेली के प्रमेय का उपयोग करें$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ जहां अभिन्न पहचान है $+\infty$, का उपयोग कर $|X-y| \ge |X|-|y|$।

यह भी सच नहीं है $f(x,y) = g(x) h(y)$। चलो$W$ अनंत पहले पल के साथ एक यादृच्छिक चर हो, और $Z$ एक बर्नौली (1/2) यादृच्छिक चर से स्वतंत्र $W$। चलो$\mathbb{P}$ का संयुक्त कानून हो $(WZ, W(1-Z))$, और सेट करें $f(x,y) = xy$, जो फार्म का है $g(x) h(y)$। फिर$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ इसलिये $Z(1-Z)=0$ जैसा भी हो $WZ, W(1-Z)$ समान रूप से वितरित किए जाते हैं, इसलिए हमारे पास है $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$