आक्षेप प्रमाण।

Question

लश्कर $A$ तथा $B$ परिमित होना, यह साबित करना $|A\times B|=|A||B|$।

जबसे $A$ तथा $B$ परिमित सेट हैं, तो इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है, $$A=\{a_1,\ldots,a_m\}\quad \text{and}\quad B=\{b_1,\ldots, b_n\}$$ फिर मैंने एक फंक्शन को परिभाषित किया $$\varphi:A\times B\to \{1,2,3,\ldots,mn\}=I_{mn}$$ के द्वारा दिया गया $$\varphi(a_i,b_j)=(i-1)n+j$$ जो मुझे साबित करने या यह साबित करने में मदद करता है कि यह फ़ंक्शन वास्तव में विशेषण है।

Answer 1

मुझे लगता है कि आपको यह साबित करना चाहिए:

प्राकृतिक संख्या दी $m$ तथा $n$ और जाने $f: \mathbb{N}_{m} \times \mathbb{N}_{n}\to \mathbb{N}_{mn}$, द्वारा $$f(i,j)=(i-1)n+j$$इसलिए, $f$ एक आपत्ति है।

आप डिवीजन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए आपको संख्याओं को संभालना पड़ सकता है $\mathbb{N}_{mn}$ द्वारा विभाज्य हैं $n$ अलग मामले के रूप में।

एक और दृष्टिकोण [1]: आप यह साबित कर सकते हैं कि यदि$A$ तथा $B$ परिमित सेट हैं, फिर $A\times B$ परिमित सेट है और $$|A\times B|=|A||B|$$ निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर:

1. अगर $\{b\}$ एक सिंगलटन है, फिर $|A\times \{b\}|=|A|$।
2. अगर $B=\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\}$, फिर $$A\times B=\bigcup_{i=1}^{n}\left(A\times \{b_{i}\}\right)$$
3. अंत में, आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$|A\times B|=mn=|A||B|$$

एक और दृष्टिकोण [2]: आप इंडक्शन ऑन का उपयोग कर सकते हैं$|B|$। यह कहना है, यह साबित करना है$$\forall n \in \mathbb{N}, \forall A,B: |A|,|B|<\infty \wedge |B|=n \implies |A\times B|<\infty \wedge |A\times B|=|A|n$$

Answer 2

किसी के लिए $0\lt k \leq mn~ \exists q, r~(k=qn+r)$ साथ में $0 \leq r \lt n$ तथा $q \in \Bbb N$। ध्यान दें कि$q, r$उन गुणों के साथ अद्वितीय हैं। अगर$r=0$, नक्शा $f: k \mapsto (q-1, r)$। अगर$r \neq 0$, नक्शा $f: k \mapsto (q, r)$। यह$f$ आप चाहते हैं कि आपत्ति है।