असतत, घने और निरंतर वृक्ष

Question

यह मानते हुए कि हम एक पेड़ की सेट-थियोरेटिक परिभाषा का उपयोग करते हैं:
एक सेट$T$ आंशिक आदेश के साथ $<$ एक पेड़ है अगर किसी के लिए $t \in T$
सेट $\{ s \in T : s < t \}$ द्वारा सुव्यवस्थित है $<$।
https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_(set_theory)

हम जानते हैं कि कटौती का उपयोग करते हुए असतत, घने और निरंतर रैखिक आदेशों को कैसे परिभाषित किया जाए:

• एक रैखिक क्रम असतत है अगर इसके प्रत्येक कट पर एक छलांग है;
• एक रैखिक क्रम घना है अगर इसमें कोई कूद न हो;
• यदि कोई अंतराल नहीं है तो एक घने रैखिक क्रम जारी है।

क्या पेड़ों में आदेशों के प्रकारों का उपयोग नहीं करने का कोई कारण है?
क्या हम असतत, घने और निरंतर वृक्षों को उसी तरह परिभाषित कर सकते हैं?

मेरा प्रयास:

एक सेट $T$ आंशिक आदेश के साथ $\le$ एक असतत (सम्मान। घना, निरंतर) यदि कोई हो तो वृक्ष $t \in T$:

1. सेट $S = \{ s \in T : s \le t \}$ द्वारा पूरी तरह से आदेश दिया गया है $\le$, तथा
2. का कुल क्रम $S$ असतत है (सम्मान। घना, निरंतर)।

यदि हम कनेक्टिविटी गुण जोड़ते हैं:

1. किसी भी दो तत्वों के लिए $x$ तथा $y$ का $T$ एक तत्व है $z$ ऐसा है कि $z \le x$ तथा $z \le y$,

ऐसा लगता है कि नई परिभाषा में असली पेड़ों के सेट शामिल हैं:
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_tree

क्या इस का कोई मतलब निकलता है?

अब, यह मानते हुए कि हमने ऑर्डर प्रकार का उपयोग करके असतत और निरंतर पेड़ों को अलग कर दिया है।

चलो एक सेट लेते हैं $T = \{0\} \cup \mathbb T$ आंशिक आदेश के साथ $x < y \iff |x| < |y|$,
कहाँ$\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}$ इकाई चक्र है (https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group),
और$0 = (0,0)$ चक्र का केंद्र है।

मेरी परिभाषा के अनुसार, $T$एक असतत वृक्ष है।
परंतु$T$ एक बेशुमार (असतत नहीं) सबसेट होता है $\mathbb T$।
यह किस तरह का पेड़ है?

Answer 1

आपके उदाहरण में, $(\{0\}\cup\mathbb T,<)$ के तत्वों के बारे में नहीं जानता $\mathbb T$ में एक सतत चक्र का गठन $\mathbb C$।

असतत सेट लेने पर आपको एक आइसोमॉर्फिक पेड़ मिलेगा $X$ कार्डिनैलिटी के साथ $2^{\aleph_0}$ और जाने $T'=\{0\}\cup X$ साथ में $0<x$ सबके लिए $x\in X$ और के तत्व $X$ अतुलनीय।