दिए गए ODE के समाधान का अस्तित्व।

Question

मेरे पास एक ओडीई है,$ \frac{du}{dt} = t \log t$

मैं पर विशेष समाधान खोजने की जरूरत है$(0,0)$

मैंने समीकरण हल किया और प्राप्त किया,$u = \frac{t^2}{2} \log t - \frac{t^{2}}{4} + c$

$\log$समारोह में परिभाषित नहीं है$0$, तो मैंने इसकी सीमा ले ली$\frac{t^2}{2} \log t$पर$0$और यह है$0$, इसलिए$c$0 है। क्या यह सही तरीका है। इस समाधान के छोटे पड़ोस में परिभाषित किया गया है$0$, जो मैंने लिमिट का उपयोग करके पाया है। क्या हम कह सकते हैं कि यह विशेष समाधान है$(0,0)?$

Answer 1

हाँ, यह सही लग रहा है। यदि आप ODE के डोमेन को संपूर्ण समय अक्ष के माध्यम से विस्तारित करते हैं$$ \dot u(t)=t\ln|t|, $$तब दाहिना पक्ष हर जगह निरंतर होता है और एकीकरण पर सामान्य दावे समाधान का अस्तित्व देते हैं, जैसे किसी अन्य ODE/चतुर्भुज समस्या के लिए$\dot u(t)=f(t)$एक निरंतर के साथ$f$.