डॉट उत्पाद गुण

Question

मैं निम्नलिखित दावे को साबित या विरोध करना चाहता हूं:

अगर हम दो वैक्टर लेते हैं $\mathbf{v}_1$ तथा $\mathbf{v}_2$ में है $\mathbb{R}^{d}$ ()$d$ neccesately 2 नहीं है, इसलिए ज्यामितीय प्रमाण उपलब्ध नहीं हैं) और उनके बीच का कोण, जिसे परिभाषित किया गया है $\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ निम्नलिखित धारण:

1. किसी भी वेक्टर के लिए $\mathbf{u}$ सेंट $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$ अगर हम निरूपित करते हैं $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$ तथा $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$ हम मिलेंगे $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
2. किसी भी वेक्टर के लिए $\mathbf{u}$ सेंट $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$ अगर हम निरूपित करते हैं $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$ तथा $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$ हम मिलेंगे $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

मुझे पूरा विश्वास है कि उपरोक्त धारणीयता के बाद से, मैंने बहुत सारे संख्यात्मक सिमुलेशन चलाए हैं और ऐसा लगता है कि, मेरा मानना ​​है कि दावे को साबित करने की आवश्यकता है और विरोधाभास नहीं है।

मैंने कुछ बीजगणितीय ट्रिक्स (त्रिकोण असमानता आदि) के साथ कोज्या की बीजगणितीय परिभाषा का उपयोग करने का प्रयास किया और यह सामान्यीकृत कोसाइन असमानता (वैक्टर के लिए) के साथ काम नहीं किया।

Answer 1

दोनों दावे झूठे हैं। चूँकि हम प्रतिस्थापित करके एक से दूसरे का दावा प्राप्त कर सकते हैं$u$ द्वारा द्वारा $-u$, यह दावा है कि पहले दावे को खारिज करने के लिए।

दो रैखिक स्वतंत्र वैक्टर उठाओ $u$ तथा $v_1$ ऐसा है कि $v_1^Tu>0$। चलो$v_2=2v_1$। फिर$v_2^Tu>0$ लेकिन आ $$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ एक ठोस प्रतिपक्ष के लिए, चलो \begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned} फिर $$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$ और इसलिए $$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ गड़बड़ी करके $v_2$ अपने आप में एक दिशा के साथ थोड़ा, एक भी एक counterexample प्राप्त कर सकते हैं जिसमें $v_1$ तथा $v_2$ रैखिक रूप से निर्भर नहीं हैं।