eigenvalue और जटिल euler-bernoulli बीम का eigenfunction

Oct 08 2020

इसलिए मैं गणितज्ञ के लिए नया हूं और समीकरणों द्वारा दिए गए यू-आकार के कैंटिलीवर बीम के लिए यूलर-बरनौली मोडल समीकरण को हल करने की कोशिश कर रहा हूं: -

जहां मैं इस क्षेत्र का सूचकांक हूं। कुल मिलाकर 2 क्षेत्र हैं, जिनमें से प्रत्येक के क्रमशः ईआई और म्यू मान हैं। क्षेत्र 1 x = 0 से x = लेले से क्षेत्र और 2 क्षेत्र x = लेले से x = L तक का क्षेत्र। इसका समाधान अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है: -

और सीमा की शर्तें इस प्रकार हैं: -

मुझे पता है कि गणितज्ञ के पास NDEigensystem फ़ंक्शन है जो मुझे इसकी मदद कर सकता है लेकिन मुझे नहीं पता कि इसका सही उपयोग कैसे किया जाए।

संपादित करें: - मैं भी 2 क्षेत्रों के लिए x के एक फ़ंक्शन के रूप में Phi (x) की एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति विकसित करना चाहूंगा क्योंकि मुझे कुछ असतत मापदंडों को प्राप्त करने के लिए उस अभिव्यक्ति को एकीकृत करने की आवश्यकता है: -

कोड ब्लॉक इस प्रकार है: -

EAu = 78*10^9; (*Youngs Modulus of Gold*)
ESiN = 250*10^9; (*Youngs Modulus of Silicon Nitride*)
rhoAu = 19300; (*Density of Gold*)
rhoSiN = 3440; (*Density of Silicon Nitride*)
b11 =1.5; (*width of gold, section I*)
b12 = 4.5; (*width of gold, section II*)
b21 = b11; (*width of SiN, section I*)
b22 = b12; (*width of SiN, section II*)
h11 = 20*10^(-3); (*height of gold, section I*)
h21 = 510*10^(-3); (*height of SiN, section I*)
h12 = h11; (*height of gold, section II*)
h22 = h21; (*height of SiN, section II*)
IAu1 =(1/12)*b11*h11^3; (*2nd Moment of Area, gold, section I, about   the center*)
IAu2 = (1/12)*b12*h12^3; (*2nd Moment of Area, gold, section II, about the center*)
ISiN1= (1/12)*b21*h21^3; (*2nd Moment of Area, SiN, section I, about the center*)
ISiN2 = (1/12)*b22*h22^3; (*2nd Moment of Area, SiN, section II, about the center*)

EIsys1 = 2*EAu*(IAu1 + b11*h11*(0.5*(h11+h21)-0.5*h11)^2) + 2*ESiN*(ISiN1 + b21*h21*(0.5*(h11+h21)-0.5*h21)^2)
EIsys2 = EAu*(IAu2 + b12*h12*(0.5*(h12+h22)-0.5*h12)^2) + ESiN*(ISiN2 + b22*h22*(0.5*(h12+h22)-0.5*h22)^2)

musys1 = 2*rhoAu*b11*h11 + 2*rhoSiN*b21*h21 (*mass per unit length, section I*)
musys2 = rhoAu*b12*h12 + rhoSiN*b22*h22 (*mass per unit length, section II*)

AR = 5; (*Input Value, Aspect Ratio of Beam*)
L = AR*b12 (*Length of Beam, total*)
Lleg = AR*b11 (*Length of Beam, Section I*)

EIL = EIsys1
EIR = EIsys2
\[Mu]L = musys1
\[Mu]R = musys2
bleg = b11
b = b12
m = Lleg
eqnL = EIL \[Phi]L''''[x] - \[Mu]L *(\[Omega]^2)* \[Phi]L[x] == 0
eqnR = EIR \[Phi]R''''[x] - \[Mu]R *(\[Omega]^2)* \[Phi]R[x] == 0

bcs = {\[Phi]L[0] == 0, \[Phi]L'[0] == 0, 
\[Phi]L[m] == \[Phi]R[m], \[Phi]L'[m] == \[Phi]R'[m], 
2 bleg \[Phi]L''[m] == b \[Phi]R''[m], 2 bleg \[Phi]L'''[m] == b \[Phi]R'''[m],
\[Phi]R''[L] == 0, \[Phi]R'''[L] == 0}

जवाब

6 SPPearce Oct 12 2020 at 14:47

मेरे पास एक पैकेज है जो इस तरह की इंटरफ़ेस समस्याओं सहित eigenvalue समस्याओं को हल करता है।

पहले हमें स्थापित करने की आवश्यकता है (पहली बार केवल):

Needs["PacletManager`"] 
PacletInstall["CompoundMatrixMethod", 
    "Site" -> "http://raw.githubusercontent.com/paclets/Repository/master"]

और फिर इसे लोड करें:

Needs["CompoundMatrixMethod`"]

हम अपने फ़ंक्शन के माध्यम से ODEs की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में परिवर्तित करते हैं ToMatrixSystem:

sys = ToMatrixSystem[{eqnL, eqnR}, bcs, {ϕL, ϕR}, {x, 0, m, L}, ω];

विधि कुछ उत्पन्न करता है जिसे इवांस फ़ंक्शन कहा जाता है, जड़ें मूल प्रणाली के प्रतिजन के अनुरूप होती हैं।

इसका मूल्यांकन किसी दिए गए मूल्य के लिए किया जा सकता है $\omega$, कहते हैं $\omega = 1$, साथ में:

Evans[1, sys]
  (* 4.54519 *)

यह शून्य नहीं है, इसलिए $\omega = 1$इस समीकरण का एक प्रतिरूप नहीं है। यह भी ध्यान दें कि यह मूर्ख नहीं है$\omega = 0$, जो निर्धारक पर गायब हो जाएगा।

इसलिए हमें केवल प्लॉटिंग या फाइंडरूट के माध्यम से इस फ़ंक्शन की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है।

FindRoot[Evans[ω, sys], {ω, 1}]
(* {ω -> 6.79439} *)

और आप एक प्लॉट में कई जड़ें देख सकते हैं:

Plot[Evans[ω, sys], {ω, 0, 500}]

2 Cesareo Oct 16 2020 at 03:40

पारंपरिक तरीके से पालन किया

parms = {EIL -> 4.31671*10^(-15), EIR -> 1.29501*10^(-14), \[Mu]L -> 3.2106*10^(-9), \[Mu]R -> 9.6318*10^(-9), bleg -> 1.5*10^(-6), b -> 4.5*10^(-6), m -> 7.5*10^(-6), L -> 22.5 10^(-6)};
eqnL = \[Phi]L''''[x] - \[Mu]L /EIL \[Omega]^2 \[Phi]L[x] == 0;
eqnR = \[Phi]R''''[x] - \[Mu]R /EIR  \[Omega]^2 \[Phi]R[x] == 0;
solL = DSolve[eqnL, \[Phi]L, x][[1]];
solR = DSolve[eqnR, \[Phi]R, x][[1]];
\[Phi]Lx = \[Phi]L[x] /. solL;
\[Phi]Rx = \[Phi]R[x] /. solR /. {C[1] -> C[5], C[2] -> C[6], C[3] -> C[7], C[4] -> C[8]};
equ1 = \[Phi]Lx /. {x -> 0};
equ2 = D[\[Phi]Lx, x] /. {x -> 0};
equ3 = (\[Phi]Lx - \[Phi]Rx) /. {x -> m};
equ4 = D[\[Phi]Lx - \[Phi]Rx, x] /. {x -> m};
equ5 = D[2 bleg \[Phi]Lx - b \[Phi]Rx, {x, 2}] /. {x -> m};
equ6 = D[2 bleg \[Phi]Lx - b \[Phi]Rx, {x, 3}] /. {x -> m};
equ7 = D[\[Phi]Rx, {x, 2}] /. {x -> L};
equ8 = D[\[Phi]Rx, {x, 3}] /. {x -> L};
M = Grad[{equ1, equ2, equ3, equ4, equ5, equ6, equ7, equ8}, Table[C[k], {k, 1, 8}]];
det = Det[M] /. parms;

के लिए ग्राफिक्स प्लॉटिंग $\det(\omega)$ हमारे पास है

gr0 = LogLogPlot[det, {\[Omega], 0, 10^9}, PlotStyle -> {Thick, Blue}]

जिससे हम निम्न प्रकार से दो पहले विशेषता आवृत्तियों को प्राप्त करते हैं