एक अभिन्न का मूल्य

Question

मुझे निम्नलिखित अभिन्न के मूल्य को सत्यापित करने की आवश्यकता है $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ अभिन्न (का कारक) $4n(n-1)$) शामिल है) के लिए कुछ यादृच्छिक चर का पीडीएफ है $n\geq 3$और इसलिए मैं यह होने की उम्मीद करता हूं। 1. यदि कोई व्यक्ति कृपया इसे MATHEMATICA जैसे कुछ कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में डाल सकता है, तो मैं बहुत अधिक बाध्य होऊंगा। मेरे पास किसी भी सीएएस सॉफ्टवेयर तक पहुंच नहीं है।

PS: -मैं किसी भी फ्री CAS सॉफ्टवेयर के बारे में नहीं जानता। अगर कोई है तो कृपया शेयर करें

Answer 1

अभिन्न के रूप में फिर से लिखा जा सकता है \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} भागों द्वारा एकीकृत, हम प्राप्त करते हैं $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ इसलिए, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS आप प्रतीकात्मक गणनाओं के लिए SageMath और WolframAlpha का उपयोग कर सकते हैं । दोनों स्वतंत्र हैं।

Answer 2

ऐसा लगता है कि आपका अनुमान सत्य है। गणितज्ञ परिणाम देता है$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन के संदर्भ में, और यादृच्छिक पूर्णांकों में डाल रहा है $\geq 3$ हमेशा 1 पैदावार (मैं मनमाने के लिए एक सामान्य परिणाम के रूप में बाहर थूकने के लिए Mathematica प्राप्त करने में कामयाब नहीं हुआ है $n$) है।

Answer 3

आप CoCalc का उपयोग कर सकते हैं । उदाहरण के लिए, टाइप करें integral(x^2,x)और प्राप्त करें1/3*x^3

यह प्रतीकात्मक मापदंडों को भी अनुमति देता है।

इनपुट:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

आउटपुट:

1/3*x^3+n*x