एक अज्ञात में सरल संख्या सिद्धांत
दिया हुआ $n$ एक पूर्णांक है और $0 \leq n \leq 2000$, कितने $n$ क्या ऐसे हैं? $\lfloor \sqrt {n} \rfloor$ विभाजित $n$ तथा $\lfloor \sqrt {n+1} \rfloor$ विभाजित $n+1$?
मैं संख्या सिद्धांत में नया हूं और मुझे मानने में परेशानी हो रही है $\lfloor \sqrt {n} \rfloor$ जैसा $k$ जैसे कि $k$एक पूर्णांक भी है। मुझे वास्तव में लगता है कि यह सबसे अच्छी विधि है$\lfloor \sqrt {n} \rfloor$इस समस्या में सबसे छोटा पूर्णांक है, लेकिन मुझे अभी भी अपने निम्नलिखित चरणों की समझ नहीं है। मुझे इसके लिए कुछ मूल समाधान देखना पसंद है ताकि मैं सबसे अच्छी विधि चुन सकूं जो मेरे लिए उपयुक्त हो।
मुझे पता है कि यह आप लोगों के लिए बहुत आसान है। मैं वास्तव में किसी भी मदद की सराहना करता हूं और आपको अग्रिम धन्यवाद देता हूं :)
पुनश्च। मुझे पहले से ही पता है कि कैसे। अगर$m²$ एक पूर्ण वर्ग है जिसका एक कारक है $m$ उसके पहले संख्या $m² - 1$ का कारक है $m-1.$इस दो लगातार संख्याओं में दोनों का एक कारक होता है जो लगातार भी होते हैं। समस्या सुलझी।
जवाब
एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $ n \geq 1 $, जाने दो $ d_{n} = gcd(\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor, \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor) $। तब से परिकल्पना से हम जानते हैं कि$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \mid n $ तथा $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \mid n+1 $ हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं: $$ d_{n} \mid \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \mid n $$ $$ d_{n} \mid \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \mid n+1 $$ इसलिये $ d_{n} \mid n $ तथा $ d_{n} \mid n+1 $ इसलिए $ d_{n} \mid (n+1-n) $ इस प्रकार $ d_{n} \mid 1 $। इसलिए या तो$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = 1 $ या $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \geq 2 $ तथा $ d_{n} = 1 $।
अगर $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = 1 $ फिर स्पष्ट रूप से $ n \in \{1,2\} $। अब अगर$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \geq 2 $ तथा $ d_{n} = 1 $, क्या $ d_{n} = 1$ हमें बताता है कि $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $ तथा $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor $ परिभाषा के आधार पर अपेक्षाकृत प्रमुख हैं $ d_{n} = gcd(\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor, \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor) $। लेकिन स्पष्ट रूप से$$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1 \geq \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \geq \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $$ जहां आरएचएस असमानता स्पष्ट है, जबकि एलएचएस एक इस तथ्य से है कि $ \sqrt{n}+1 \geq \sqrt{n+1} $(जिसे आसानी से स्क्वेरिंग द्वारा सत्यापित किया जा सकता है)। इसलिए हमारे पास वह होना चाहिए$$ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1$$।
लश्कर $ k = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $। फिर$$ k \leq \sqrt{n} < k+1 $$ इसलिए $$ k^{2} \leq n < (k+1)^{2} $$ इसलिये $$ n+1 \leq (k+1)^{2} $$ दूसरी ओर, हमारे पास वह है $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1$ इसलिये $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = k+1$ इसलिए $ k+1 \leq \sqrt{n+1} $ कौन सी पैदावार $ (k+1)^{2} \leq n+1 $। इसलिए, इस और उपरोक्त असमानता से, हमारे पास यह होना चाहिए$$ n+1 = (k+1)^{2} $$ जिसका अर्थ है कि $$ n = (k+1)^{2}-1 $$ आइए सत्यापित करें कि वास्तव में फॉर्म के सभी सकारात्मक पूर्णांक $ n=m^{2}-1 $ के लिये $ m \geq 2 $परिकल्पना का सत्यापन करें। तो चलो$ n = m^{2}-1 $ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $ m \geq 2 $। के लिये$ m \geq 2 $ हमारे पास है $$ m^{2} > n=m^{2}-1 > (m-1)^{2}$$ इसलिए $$ m > \sqrt{n} > m-1 $$ तब हमारे पास वह होना चाहिए $\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = m-1 $ जो स्पष्ट रूप से विभाजित है $ n = m^{2}-1=(m-1)(m+1) $। और भी$ n+1 = m^{2} $ इसलिये $ \sqrt{n+1} = m $ इसलिए $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = m $ साथ ही जो स्पष्ट रूप से विभाजित है $ n+1 = m^{2} $।
इसलिए सभी सकारात्मक पूर्णांक $ n $ फार्म का $ m^{2}-1$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $ m \geq 2 $परिकल्पना को पूरा करें। हमने वो भी देखा$ n \in \{1,2 \} $परिकल्पना को भी संतुष्ट करता है। इसके अलावा,$ 0 $ प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा के अनुसार एक समाधान भी है, अर्थात हम कहते हैं $ k \mid n $ कहाँ पे $ k,n \in \mathbb{N} $ अगर मौजूद है $ m \in \mathbb{N} $ इस तरह के $ k \cdot m = n $। के मामले में$ n = 0 $, सभी प्राकृतिक संख्या $ k $ विभाजन $ n $ समेत $ 0 $ के बाद से ही $ n = 0 $ वहाँ मौजूद है (असीम रूप से कई, वास्तव में सभी प्राकृतिक संख्याएँ) $ m \in \mathbb{N} $ ऐसा है कि $ 0 = 0 \cdot m $।
निष्कर्ष निकालने के लिए, हमारे पास वह है $ n \in \{0,1,2\} \cup \{ m^{2}-1| m \in \mathbb{N}, m \geq 2 \} $ जो सभी प्राकृतिक संख्याओं को खोजने के प्रश्न का उत्तर देता है $ n $यह परिकल्पना को पूरा करता है। अगर हम को प्रतिबंधित कर रहे हैं$ n \leq 2000 $, हमें सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक खोजना होगा $ m $ ऐसा है कि $ m^{2}-1 \leq 2000 $ जो आसानी से पाया जा सकता है $ 44 $। इसलिए प्राकृतिक संख्या से कम या इसके बराबर$ 2000 $ उस परिकल्पना को पूरा करते हैं $$ n \in \{0,1,2,2^{2}-1, 3^{2}-1, 4^{2}-1, \dots , 44^{2}-1 \} = \{0,1,2,3,8,15, \dots 1935 \} $$ इसलिए वहाँ हैं $ 46 $ समस्या का समाधान।