एक फ़ेरोमेनिक क्षेत्र सिद्धांत क्या है?
लश्कर $\mathscr{H}$ एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष और हो $\mathscr{H}^{n}$ संबद्ध हो $n$इस हिल्बर्ट अंतरिक्ष के कई गुना उत्पाद। मैं गणितीय विवरण को इस प्रकार छोड़ता हूँ, लेकिन मेरा दृष्टिकोण रीड एंड साइमन की पुस्तक का अनुसरण करता है । हम एक ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं$A_{n}$, जिसे एंटी-सिमेट्रिक ऑपरेटर कहा जाता है, जो एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है $\mathscr{H}^{n}$ इसके विरोधी सममित उप-स्थान पर $A_{n}\mathscr{H}^{n}$। गणितीय रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं कि आमतौर पर एक फर्मीनिक फॉक स्पेस कहा जाता है $\mathcal{F}_\text{fer}$ द्वारा: $$\mathcal{F}_\text{fer} := \bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}\mathscr{H}^{n}$$ कहाँ पे $A_{0}\mathscr{H}^{0} := \mathbb{C}$ तथा $A_{1}\mathscr{H}^{1} := \mathscr{H}$। हम आगे बढ़ सकते हैं और ऑपरेटरों को परिभाषित कर सकते हैं$\mathcal{F}_\text{fer}$, जैसे कि हैमिल्टन, निर्माण और सर्वनाश संचालकों और इतने पर। ऐसा करने की प्रक्रिया मूल रूप से निम्न है: हमारे पास एक दिया गया ऑपरेटर है$T$ पर $\mathscr{H}$ और हम इसे बढ़ाते हैं $\mathscr{H}^{n}$दूसरी परिमाणीकरण नामक एक प्रक्रिया का उपयोग करके और फिर परिभाषित करें$T$ पर $\mathcal{F}_\text{per}$ प्रत्येक 'घटक' पर कार्य करने देने से $A_{n}\mathscr{H}^{n}$।
उपरोक्त परिदृश्य बहुत सामान्य है, और यह मूल रूप से गणित है। हालांकि, नाम 'fermionic' ने हमेशा मेरा ध्यान आकर्षित किया। मुझे यकीन था कि यह कुछ अर्थों में कई फर्म्स की एक प्रणाली का गणितीय सूत्रीकरण था, और यह नाम को सही ठहराएगा। हालाँकि, समय बीतने के साथ-साथ मुझे कुछ बहुत अलग मॉडल मिल गए हैं जो उपरोक्त औपचारिकता द्वारा वर्णित किए गए हैं। मैं आपको कुछ त्वरित अनौपचारिक उदाहरण देता हूं:
(1) हम ले सकते हैं$\mathscr{H} = L^{2}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{C})$ पर परिभाषित जटिल-मूल्यवान वर्ग पूर्णांक कार्यों का स्थान $\mathbb{R}^{d}$।
(२) यदि हम विवेकाधीन स्थान पर हैं, तो हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं$\mathbb{R}^{d}$ ऊपर के उदाहरण में कुछ परिमित सेट द्वारा $\Lambda$। यह परिमित सेट एक परिमित जाली या यहां तक कि परिमित जाली का कार्टेशियन उत्पाद और कुछ परिमित 'स्पिन' सेट हो सकता है।
(३) यदि हम डिराक खेतों के बारे में सोच रहे हैं, तो ऐसा लगता है कि उचित हिल्बर्ट$\mathscr{H}$ है $\mathbb{C}^{2}$, जो Spins लाइन खाते हैं ${1}\choose{0}$ तथा ${0}\choose{1}$।
ये तीन उदाहरण (और संभवतः अन्य) कई अलग-अलग पुस्तकों में एक ही नाम के 'फर्मीऑनिक सिस्टम' या 'फर्मीऑनिक फील्ड सिद्धांत' के तहत पाए जाते हैं।
प्रश्न: मुझे नहीं पता कि ये तीनों उदाहरण सिर्फ एक भौतिक प्रणाली के विभिन्न अहसास हैं, लेकिन मेरा मानना है कि यह नहीं है । तो, ऐसा लगता है कि एक fermionic क्षेत्र सिद्धांत द्वारा, एक आमतौर पर एक fermionic Fock स्थान के बारे में सोचता है$\mathcal{F}_\text{fer}$ साथ में कुछ दूसरे हामिल्टनियन की मात्रा तय की $H$इस फॉक स्पेस पर अभिनय करना, इसलिए वास्तव में केवल एक के बजाय फ़ोरोमेनिक फ़ील्ड सिद्धांतों के विभिन्न अहसास हैं। क्या यह सही है?
जवाब
एक फ़ेरोमेनिक फ़ील्ड सिद्धांत को इसके हिल्बर्ट स्थान की विशेषता नहीं है। यह अपने क्षेत्र ऑपरेटरों के बीच बीजीय संबंधों की विशेषता है।
एक फ़ेरोमेनिक फील्ड सिद्धांत वह है जिसके पर्यवेक्षकों का निर्माण फील्ड ऑपरेटरों से किया जाता है $\psi_n(x)$ वह समान समय के एंटीकोमूलेशन संबंधों को संतुष्ट करता है \begin{align} \{\psi_n(x,t),\psi_m(y,t)\} &= 0 \\ \{\psi_n(x,t),\psi_m^\dagger(y,t)\} &= 0\text{ if }x\neq y\text{ or }n\neq m, \end{align} कहाँ पे $\{A,B\}\equiv AB+BA$। पाउली बहिष्करण सिद्धांत इसी का एक परिणाम है। प्रश्न में वर्णित विभिन्न निर्माणों का उपयोग हिल्बर्ट स्थान पर ऐसे ऑपरेटरों के प्रतिनिधित्व के विभिन्न तरीकों के रूप में किया जा सकता है।
मेरा जवाब https://physics.stackexchange.com/a/582216अभ्यावेदन के बारे में कुछ सामान्य टिप्पणियाँ देता है। केंद्रीय संदेश यह है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष ही हमें एक सिद्धांत के बारे में लगभग कुछ भी नहीं बताता है। वेधशालाओं का पैटर्न क्या मायने रखता है। हिल्बर्ट अंतरिक्ष का प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीके वेधशालाओं के विभिन्न पैटर्न के लिए कम या ज्यादा सुविधाजनक हो सकते हैं, लेकिन वेधशालाएं मायने रखती हैं।
हां, कई अलग-अलग फर्मीनिक क्षेत्र सिद्धांत हैं। द हैमिल्टन$H$खुद उनमें से कुछ के बीच अंतर करने के लिए पर्याप्त हो सकता है, लेकिन हैमिल्टन सिर्फ एक ऑपरेटर है। हैमिल्टन और अन्य वेधशालाओं के बीच का संबंध अधिक समझदार है, और जब भी हम व्यक्त करते हैं, तो ऐसा संबंध निहित होता है$H$फील्ड ऑपरेटरों के संदर्भ में, क्योंकि अन्य वेधशालाएं भी फील्ड ऑपरेटरों के संदर्भ में व्यक्त की जाती हैं। ध्यान दें कि वेधशालाओं को एक दूसरे के साथ स्पैसेलिक पृथक्करण में होना चाहिए (यह कार्य-कारण सिद्धांतों में से एक है), इसलिए एक अवलोकनीय आवश्यक रूप से एंटीकोमाउटिंग फ़ील्ड ऑपरेटरों की एक समान संख्या का एक उत्पाद शामिल है।
वैसे, एक बार में, मुझे "fermion" नाम एक ऐसी चीज के पर्याय के रूप में इस्तेमाल होता है, जिसका स्पिन एक से अधिक का एक विषम है $\hbar/2$। सापेक्षवादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, स्पिन-सांख्यिकी कनेक्शन इस भाषा को सही ठहराते हैं। लेकिन आम तौर पर, यह कनेक्शन धारण नहीं करता है: एक फ़र्मियन (कुछ जिसका क्षेत्र ऑपरेटरों एंटीकोम्यूट) जरूरी नहीं कि ऐसा कोई स्पिन हो, या इसके विपरीत।