एक समरूप समूह का तत्व
मुझे एक होमोटोपी समूह के एक तत्व के विचार को समझने में परेशानी हो रही है। यह विकिपीडिया की परिभाषा है:
N- क्षेत्र में $S^{n}$ हम एक आधार बिंदु चुनते हैं $a$। एक स्थान के लिए$X$ आधार बिंदु के साथ $b$, हम परिभाषित करते हैं $\pi _{n}(X)$ नक्शों की होमोटोपी कक्षाओं का सेट होना $f:S^{n}\to X$वह मानचित्र आधार बिंदु a से आधार बिंदु b पर जाता है। विशेष रूप से, समतुल्यता वर्ग होमोटोपी द्वारा दिए गए हैं जो कि गोले के आधार पर स्थिर हैं।
तो मेरी समझ से $\pi_n(X)$ सभी निरंतर मानचित्र लेकर बनाया जाता है $f: S^n \rightarrow X$ ऐसा है कि $f(a) = b$और फिर इसे समरूपता समतुल्य संबंध के तहत मॉड। हालांकि, मुझे अंतिम वाक्य समझ में नहीं आता है: समतुल्यता वर्ग समरूपता द्वारा दिए गए हैं जो कि गोले के आधार पर स्थिर हैं। गोले के तलघर पर स्थिर होने का क्या मतलब है? अगर$f$ तथा $g$ होमोटोपिक हैं, क्यों उन्हें गोले के आधार पर स्थिर होना चाहिए?
जवाब
कहने को होमोटोपी $F:S^n\times[0,1]\rightarrow X$ से $f$ सेवा $g$ क्षेत्र के आधार पर स्थिर है इसका मतलब है कि $F(a,t)=b\,\,\,\forall t\in[0,1]$, कहाँ पे $a$ क्षेत्र का चुना हुआ आधार है और $b=f(a)=g(a)$ का चुना हुआ आधार है $X$।
एक सामान्य समरूपता क्षेत्र के आधार पर स्थिर नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पहचान करना$S^1$ साथ में $\{z\in\mathbb{C}|1=|z|\}$, जाने दो $X=S^1$ तथा $1$ के लिए basepoint हो $S^1$।
लश्कर $f,g:S^1\rightarrow X=id_{S^1}$। तो हमारे पास$1=a=b$आपके द्वारा दी गई परिभाषा के संदर्भ में। लश्कर$F:S^1\times[0,1]\rightarrow X;F(z,t)=e^{2i\pi t}z$।
फिर स्पष्ट रूप से $f\simeq_Fg$, परंतु $F(a,\frac{1}{2})=F(1,\frac{1}{2})=-1\neq1=b$।
"क्षेत्र के आधार पर निरंतर" का अर्थ है "समय" समन्वय में स्थिर। नक्शे के एक होमोटॉपी को याद करें$S^n\to X$ एक नक्शा है $H:S^n\times [0,1]\to X$। यह कहने के लिए$H$ बेसपॉइंट पर स्थिर है जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन $t\mapsto H(a,t)$ स्थिर है, जहां $a\in S^n$बेसपॉइंट है। विचार यह है कि$H$ नक्शे का "निरंतर पथ" है $H_t:S^n\to X$ द्वारा परिभाषित $H_t(x)=H(x,t)$, और आप चाहते हैं $H_t$ के आधार पर नक्शा करने के लिए $S^n$ के आधार पर $X$ सबके लिए $t$, न सिर्फ $t=0$ तथा $t=1$ (इसलिए आपके पास "निरंतर चलने वाले मानचित्रों के निरंतर पथ" हैं)।