एक तार्किक प्रणाली की परिभाषा पर
पर p261 में §1। XIII में लॉजिकल सिस्टम । लिंडस्ट्रॉम के सिद्धांत एबिंगहौस के गणितीय तर्क में ,
१.१ परिभाषा। एक तार्किक प्रणाली$\mathcal{L}$ एक समारोह के होते हैं $L$ और एक द्विआधारी संबंध $\models_\mathcal{L}$। $L$ हर प्रतीक सेट के साथ सहयोगी $S$ एक सेट $L(S)$, का समूह $S$-संतान की $\mathcal{L}$। (...)
$L(S)$ कहा जाता है "का सेट $S$-sentences "। क्या इसका मतलब यह है कि $L(S)$ केवल के होते हैं $S$मुक्त चर के बिना सुधार? यदि हाँ, तो पहले और दूसरे क्रम के लॉजिक सिस्टम की भाषाएँ क्यों हो सकती हैं$S$मुक्त चर के साथ -सूत्र।
क्या सभी तार्किक प्रणालियों में संरचनाओं का एक ही सेट है, अर्थात $\cup_S \{S\text{-structure}\}$?
क्या यह कहना ज्यादा सही है कि एक तार्किक प्रणाली $\mathcal{L}$ के होते हैं $L$, $\cup_S \{S\text{-structure}\}$, तथा $\models_\mathcal{L}$, भले ही $\cup_S \{S\text{-structure}\}$ सभी तार्किक प्रणालियों के लिए समान है?
क्या यह दो तार्किक प्रणालियों के लिए संभव है $\mathcal{L_1}$ तथा $\mathcal{L_2}$ साथ में $L_1 = L_2 $ परंतु $\models_\mathcal{L_1} \neq \models_\mathcal{L_2}$?
धन्यवाद।
जवाब
पुन: $(1)$यह विचार यह है कि हम तार्किक प्रणाली के विचार को बहुत ही सरल स्तर पर उबाल रहे हैं: इसकी संरचना के विशेष वर्गों को बनाने की क्षमता है, जो कि फार्म के हैं। $\{\mathcal{M}: \mathcal{M}\models\varphi\}$ के लिये $\varphi$सिस्टम में एक वाक्य। जबकि FOL या SOL की तरह "प्राकृतिक" लॉजिक्स में इसकी तुलना में अधिक संरचना है - जैसे कि उनके पास मुक्त चर के साथ सूत्रों की धारणाएं भी हैं - हम उपरोक्त दृष्टिकोण में इस संरचना को "भूल जाते हैं"; यह अतिरिक्त लेकिन अनावश्यक है।
उस ने कहा, यह पता चलता है कि हम अभी भी वाक्यों का उपयोग करके संरचनाओं के निश्चित सबसेट के बारे में बात कर सकते हैं (और अभी भी सब कुछ पूरा करते हैं जो सामान्य रूप से मुक्त चर के साथ सूत्रों के साथ किया जाता है)! विशेष रूप से, हम सोच सकते हैं$S$-सूत्रों के वाक्य विस्तार के रूप में $S$ बहुत से नए निरंतर प्रतीकों द्वारा।
इससे हम संरचनाओं के निश्चित सबसेट के बारे में बात कर सकते हैं। संक्षिप्तता के लिए FOL को देखते हुए, मान लीजिए$\mathcal{M}$ है एक $S$-स्ट्रक्चर और $\varphi(x)$ है एक $S$मुक्त चर के साथ -फॉर्मुला $x$। चलो$c$ एक निरंतर प्रतीक हो $S$ और FOL वाक्य पर विचार करें $\hat{\varphi}$ के प्रत्येक मुक्त उदाहरण को बदलकर प्राप्त किया $x$ में $\varphi$ द्वारा $c$। फिर का सबसेट$\mathcal{M}$ द्वारा परिभाषित $\varphi$, अर्थात् $\varphi^\mathcal{M}$, बिल्कुल सेट है $a\in\mathcal{M}$ इस तरह का विस्तार $\mathcal{M}$ सेवा $S\cup\{c\}$ व्याख्या करके मिल गया $c$ जैसा $a$ संतुष्ट $\hat{\varphi}$।
तो यह "वाक्य-केवल" दृष्टिकोण वास्तव में मुफ्त चर के बारे में बात करने की क्षमता नहीं खोता है, यह सिर्फ इसे थोड़ा गड़बड़ कर देता है। क्या है खो वाक्य रचना की संरचना है: एक सुनिश्चित अर्थ FOL में जैसे गणनीय वाक्य रचना है, लेकिन भूल यह ऊपर तार्किक प्रणाली के लिए दृष्टिकोण। इस कारण से हम अक्सर "लॉजिकल सिस्टम" की समृद्ध धारणाओं में रुचि रखते हैं (उदाहरण के लिए यहां देखें ); उस ने कहा, इस बहुत नंगे-हड्डियों की धारणा में मूल्य है कि यह हमें सामान्य अत्यधिक सामान्य परिणामों को साबित करने देता है।
पुन: $(2)$, हाँ। उस ने कहा, हम "सामान्यीकृत तार्किक प्रणाली" पर विचार कर सकते हैं, जिसमें संरचना की अलग-अलग धारणाएं हैं (उदाहरण के लिए शायद हम एक टोपोलॉजी के साथ संरचनाओं पर विचार करना चाहते हैं - उदाहरण के लिए यहां देखें , और अधिक आम तौर पर पूरी किताब काफी दिलचस्प है)।
पुन: $(3)$, क्योंकि वह अतिरिक्त जानकारी बेमानी है, जब तक हम व्यापक संदर्भ में काम नहीं कर रहे हैं , आपकी अभिव्यक्ति अधिक सटीक नहीं है। उस ने कहा, यह इसे शामिल करने के लिए चोट नहीं करता है, और ऊपर प्रति कभी-कभी हम चाहते हैं।
पुन: $(4)$, निश्चित रूप से। एक सरल उदाहरण के लिए, एक तार्किक प्रणाली दी गई है$\mathcal{L}=(L,\models_\mathcal{L})$ तार्किक प्रणाली पर विचार करें $$\mathcal{L}'=(L, \{\langle \mathcal{M},\varphi\rangle: \mathcal{M}\not\models_\mathcal{L}\varphi\}).$$ यह सिर्फ हर चीज को नकार देता है $\mathcal{L}$। बेशक दो तर्क एक उपयुक्त अर्थ में समतुल्य हैं।
एक अधिक प्राकृतिक उदाहरण, जो वास्तव में महत्वपूर्ण है, मानक अर्थ विज्ञान बनाम सेकेंड-ऑर्डर तर्क के साथ हेनकिन शब्दार्थ के साथ द्वितीय-क्रम तर्क है: उनके पास एक ही वाक्यविन्यास है, लेकिन उनके संतुष्टि संबंध बेहद अलग हैं (उदाहरण के लिए बाद में कॉम्पैक्ट लेकिन कस्टम पूर्व नहीं है)।
एबिंगहॉस / फ्लम / थॉमस भी बाद में "ट्विस्टेड" एफओएल के एक प्रकार का एक पैथोलॉजिकल उदाहरण देते हैं, जिसमें एफओएल के समान सिंटैक्स होता है और इसमें कॉम्पैक्टनेस और नीचे की ओर लोवेनहेम-स्कोलम गुण होते हैं, लेकिन एफओएल के साथ अपूर्ण है। मुझे इसकी सटीक परिभाषा याद नहीं है, हालाँकि।